Номер 3.27, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.27, страница 24.

Условие.

3.27. Упростите выражение ($n$ — натуральное число):

1) $x^{n+1}(x^{n+6}-1) - x^{n+2}(x^{n+5}-x^3)$;

2) $x(4x^{n+1} + 2x^{n+4} - 7) - x^{n+2}(4 + 2x^3 - x^n)$.

Решение.

1) $x^{n+1}(x^{n+6} - 1) - x^{n+2}(x^{n+5} - x^3)$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые. Для раскрытия скобок воспользуемся распределительным свойством умножения и правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

Раскроем первую скобку:

$x^{n+1}(x^{n+6} - 1) = x^{n+1} \cdot x^{n+6} - x^{n+1} \cdot 1 = x^{(n+1)+(n+6)} - x^{n+1} = x^{2n+7} - x^{n+1}$

Раскроем вторую скобку:

$-x^{n+2}(x^{n+5} - x^3) = -x^{n+2} \cdot x^{n+5} - x^{n+2} \cdot (-x^3) = -x^{(n+2)+(n+5)} + x^{(n+2)+3} = -x^{2n+7} + x^{n+5}$

Теперь объединим полученные выражения:

$(x^{2n+7} - x^{n+1}) + (-x^{2n+7} + x^{n+5}) = x^{2n+7} - x^{n+1} - x^{2n+7} + x^{n+5}$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x^{2n+7}$ и $-x^{2n+7}$ взаимно уничтожаются.

$(x^{2n+7} - x^{2n+7}) + x^{n+5} - x^{n+1} = 0 + x^{n+5} - x^{n+1} = x^{n+5} - x^{n+1}$

Ответ: $x^{n+5} - x^{n+1}$

2) $x(4x^{n+1} + 2x^{n+4} - 7) - x^{n+2}(4 + 2x^3 - x^n)$

Упростим выражение, действуя аналогично предыдущему пункту: раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Раскроем первую скобку, помня, что $x = x^1$:

$x(4x^{n+1} + 2x^{n+4} - 7) = x \cdot 4x^{n+1} + x \cdot 2x^{n+4} - x \cdot 7 = 4x^{1+(n+1)} + 2x^{1+(n+4)} - 7x = 4x^{n+2} + 2x^{n+5} - 7x$

Раскроем вторую скобку:

$-x^{n+2}(4 + 2x^3 - x^n) = -x^{n+2} \cdot 4 - x^{n+2} \cdot 2x^3 - x^{n+2} \cdot (-x^n) = -4x^{n+2} - 2x^{(n+2)+3} + x^{(n+2)+n} = -4x^{n+2} - 2x^{n+5} + x^{2n+2}$

Теперь объединим полученные выражения:

$(4x^{n+2} + 2x^{n+5} - 7x) + (-4x^{n+2} - 2x^{n+5} + x^{2n+2}) = 4x^{n+2} + 2x^{n+5} - 7x - 4x^{n+2} - 2x^{n+5} + x^{2n+2}$

Приведем подобные слагаемые. Пары слагаемых $(4x^{n+2}$ и $-4x^{n+2})$ и $(2x^{n+5}$ и $-2x^{n+5})$ взаимно уничтожаются.

$(4x^{n+2} - 4x^{n+2}) + (2x^{n+5} - 2x^{n+5}) - 7x + x^{2n+2} = 0 + 0 - 7x + x^{2n+2} = x^{2n+2} - 7x$

Ответ: $x^{2n+2} - 7x$