Номер 3.25, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.25, страница 24.

Условие.

3.25. Докажите, что количество пар целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению $x^2 + y^2 = n (n \in \mathbb{N})$, равно количеству пар целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению $x^2 + y^2 = 2n$.

Решение.

Для доказательства равенства количества решений двух уравнений установим взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множествами их целочисленных решений.

Обозначим через $S_1$ множество пар целых чисел $(x; y)$, для которых выполняется равенство $x^2 + y^2 = n$.

Обозначим через $S_2$ множество пар целых чисел $(u; v)$, для которых выполняется равенство $u^2 + v^2 = 2n$.

Рассмотрим отображение $f: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2$, заданное правилом $f(x, y) = (x+y, x-y)$. Докажем, что это отображение устанавливает биекцию между множествами $S_1$ и $S_2$.

Сначала покажем, что для любой пары $(x, y)$ из $S_1$, её образ $f(x, y)$ принадлежит $S_2$. Пусть $(x, y) \in S_1$, то есть $x^2 + y^2 = n$. Найдём сумму квадратов компонент образа:$(x+y)^2 + (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2) = 2n$. Поскольку $x$ и $y$ — целые, то и $x+y$, и $x-y$ — тоже целые. Следовательно, пара $(x+y, x-y)$ принадлежит множеству $S_2$.

Теперь докажем, что отображение $f$ является биекцией. Для этого построим обратное отображение и покажем, что оно корректно определено из $S_2$ в $S_1$.

Пусть $(u, v) \in S_2$. Мы ищем пару $(x, y)$ такую, что $f(x, y) = (u, v)$, то есть:$ \begin{cases} x+y = u \\ x-y = v \end{cases} $Решая эту систему, получаем:$x = \frac{u+v}{2}$ и $y = \frac{u-v}{2}$.

Для того чтобы $x$ и $y$ были целыми числами, необходимо, чтобы $u+v$ и $u-v$ были чётными. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числа $u$ и $v$ имеют одинаковую чётность.

Рассмотрим равенство $u^2 + v^2 = 2n$. Правая часть является чётным числом. Сумма квадратов двух целых чисел $u^2+v^2$ может быть чётной только в двух случаях: либо оба числа ($u, v$) чётные, либо оба нечётные. Если одно число чётное, а другое нечётное, сумма их квадратов всегда нечётна. Следовательно, для любой пары $(u, v)$ из $S_2$, числа $u$ и $v$ имеют одинаковую чётность. Это гарантирует, что $x = \frac{u+v}{2}$ и $y = \frac{u-v}{2}$ являются целыми числами.

Теперь проверим, что полученная пара $(x, y)$ принадлежит множеству $S_1$. Для этого вычислим сумму квадратов $x^2 + y^2$:$x^2 + y^2 = \left(\frac{u+v}{2}\right)^2 + \left(\frac{u-v}{2}\right)^2 = \frac{u^2+2uv+v^2}{4} + \frac{u^2-2uv+v^2}{4} = \frac{2u^2+2v^2}{4} = \frac{u^2+v^2}{2}$. Поскольку $(u, v) \in S_2$, мы знаем, что $u^2+v^2 = 2n$. Подставляя это значение, получаем:$x^2 + y^2 = \frac{2n}{2} = n$. Это означает, что пара $(x, y)$ действительно принадлежит $S_1$.

Таким образом, мы показали, что для каждой пары $(u, v) \in S_2$ существует единственная пара $(x, y) \in S_1$, такая что $f(x,y) = (u,v)$. Это означает, что отображение $f$ является биекцией между множествами $S_1$ и $S_2$. Существование биекции между двумя конечными множествами доказывает, что они содержат одинаковое количество элементов.

Ответ: Утверждение доказано. Мы построили взаимно-однозначное соответствие между множествами решений двух уравнений, что доказывает равенство их мощностей (количества решений).