Номер 3.23, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.23, страница 24.

Условие.

3.23. На окружности отметили 100 точек: $A_1, A_2, ..., A_{100}$. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, в которых точка $A_1$ является вершиной, или тех, в которых точка $A_1$ не является вершиной?

Решение.

Для решения задачи разделим все возможные многоугольники, которые можно построить на 100 точках, на две группы и сравним их количество.

Многоугольники, в которых точка $A_1$ является вершиной

Многоугольник должен иметь как минимум 3 вершины. Если точка $A_1$ является одной из вершин, то для построения многоугольника необходимо выбрать еще как минимум 2 вершины из оставшихся 99 точек (от $A_2$ до $A_{100}$).

Количество способов выбрать $k$ дополнительных вершин из 99 точек равно числу сочетаний $C_{99}^k$.

Таким образом, чтобы найти общее число $N_1$ многоугольников, содержащих вершину $A_1$, нужно просуммировать количество всех возможных многоугольников:

• Треугольники: нужно выбрать еще 2 вершины из 99, количество способов $C_{99}^2$.
• Четырехугольники: нужно выбрать еще 3 вершины из 99, количество способов $C_{99}^3$.
• ...
• 100-угольники: нужно выбрать все 99 оставшихся вершин, количество способов $C_{99}^{99}$.

Общее число $N_1$ таких многоугольников равно сумме:

$N_1 = C_{99}^2 + C_{99}^3 + C_{99}^4 + \dots + C_{99}^{99}$

Многоугольники, в которых точка $A_1$ не является вершиной

Если точка $A_1$ не является вершиной, то все вершины многоугольника (которых должно быть не менее трех) должны быть выбраны из оставшихся 99 точек (от $A_2$ до $A_{100}$).

Аналогично первому случаю, найдем общее число $N_2$ таких многоугольников:

• Треугольники: нужно выбрать 3 вершины из 99, количество способов $C_{99}^3$.
• Четырехугольники: нужно выбрать 4 вершины из 99, количество способов $C_{99}^4$.
• ...
• 99-угольники: нужно выбрать все 99 вершин, количество способов $C_{99}^{99}$.

Общее число $N_2$ таких многоугольников равно сумме:

$N_2 = C_{99}^3 + C_{99}^4 + \dots + C_{99}^{99}$

Сравнение и вывод

Теперь сравним полученные выражения для $N_1$ и $N_2$:

$N_1 = C_{99}^2 + C_{99}^3 + C_{99}^4 + \dots + C_{99}^{99}$

$N_2 = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C_{99}^3 + C_{99}^4 + \dots + C_{99}^{99}$

Из этих выражений видно, что $N_1 = C_{99}^2 + N_2$.

Поскольку число сочетаний $C_{99}^2 = \frac{99 \cdot 98}{2} = 4851$ является положительным числом, то очевидно, что $N_1 > N_2$.

Это означает, что многоугольников, у которых точка $A_1$ является вершиной, больше, чем тех, у которых она не является вершиной. Разница в их количестве как раз и равна числу треугольников, одной из вершин которых является точка $A_1$.

Ответ: Многоугольников, у которых точка $A_1$ является вершиной, больше.