Номер 3.19, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.19, страница 24.

Условие.

3.19. В олимпиаде приняли участие 46 учащихся. Им было предложено 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачу решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.

Решение.

Пусть $A$, $B$ и $C$ — это множества учащихся, решивших первую, вторую и третью задачи соответственно.

Из условия задачи известно, что общее число участников равно 46, и каждый решил хотя бы одну задачу. Это означает, что мощность объединения этих множеств равна 46: $|A \cup B \cup C| = 46$. Также даны мощности пересечений множеств: $|A \cap B| = 11$ (решили первую и вторую), $|B \cap C| = 8$ (решили вторую и третью), $|A \cap C| = 5$ (решили первую и третью), и $|A \cap B \cap C| = 2$ (решили все три задачи).

Требуется доказать, что одну из задач решили не менее половины участников, то есть не менее $46 / 2 = 23$ человек. Математически это означает, что нужно доказать, что хотя бы одно из чисел $|A|$, $|B|$, $|C|$ не меньше 23.

Для нахождения суммы $|A| + |B| + |C|$ воспользуемся принципом включений-исключений для трёх множеств:$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$.

Подставим в формулу известные значения:$46 = |A| + |B| + |C| - (11 + 5 + 8) + 2$.

Проведя вычисления, получим:$46 = |A| + |B| + |C| - 24 + 2$,
$46 = |A| + |B| + |C| - 22$.

Отсюда находим сумму числа решивших каждую задачу:$|A| + |B| + |C| = 46 + 22 = 68$.

Сумма числа участников, решивших каждую из задач, равна 68. Теперь применим метод доказательства от противного. Предположим, что утверждение задачи неверно, то есть каждую из трёх задач решило менее 23 учащихся: $|A| < 23$, $|B| < 23$ и $|C| < 23$.

Так как число учащихся является целым числом, из этого предположения следует, что $|A| \le 22$, $|B| \le 22$ и $|C| \le 22$.

В таком случае, максимально возможная сумма этих величин будет:$|A| + |B| + |C| \le 22 + 22 + 22 = 66$.

Мы получили противоречие: с одной стороны, из условия задачи следует, что сумма равна 68, а с другой — из нашего предположения следует, что она не может превышать 66. Это противоречие ($68 \le 66$) доказывает, что наше исходное предположение было ложным.

Следовательно, по крайней мере одна из задач была решена 23 или более участниками, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.