Номер 3.17, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.17, страница 23.

Условие.

3.17. Множество A содержит 101 элемент. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов.

Решение.

Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. По условию, $n=101$.

Количество подмножеств множества $A$, содержащих ровно $k$ элементов, равно биномиальному коэффициенту $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество подмножеств с чётным числом элементов — это сумма количеств подмножеств с 0, 2, 4, ... элементами:

$N_{чёт} = C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + \dots + C_{101}^{100}$

Количество подмножеств с нечётным числом элементов — это сумма количеств подмножеств с 1, 3, 5, ... элементами:

$N_{нечёт} = C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + \dots + C_{101}^{101}$

Мы должны доказать, что $N_{чёт} = N_{нечёт}$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

Подставим в эту формулу $n=101$, $a=1$ и $b=-1$:

$(1 + (-1))^{101} = C_{101}^0 (1)^{101} (-1)^0 + C_{101}^1 (1)^{100} (-1)^1 + C_{101}^2 (1)^{99} (-1)^2 + \dots + C_{101}^{101} (1)^0 (-1)^{101}$

Упростим выражение. Левая часть равна $(1-1)^{101} = 0^{101} = 0$. В правой части $(-1)^k$ равно 1 для чётных $k$ и -1 для нечётных $k$.

$0 = C_{101}^0 - C_{101}^1 + C_{101}^2 - C_{101}^3 + \dots + C_{101}^{100} - C_{101}^{101}$

Теперь перенесём все слагаемые с отрицательным знаком в левую часть уравнения:

$C_{101}^1 + C_{101}^3 + C_{101}^5 + \dots + C_{101}^{101} = C_{101}^0 + C_{101}^2 + C_{101}^4 + \dots + C_{101}^{100}$

Слева мы получили сумму $N_{нечёт}$, а справа — сумму $N_{чёт}$. Таким образом, мы доказали, что $N_{нечёт} = N_{чёт}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на разложении бинома Ньютона $(1-1)^{101}$, которое равно нулю. Это приводит к равенству $C_{101}^0 - C_{101}^1 + C_{101}^2 - \dots - C_{101}^{101} = 0$. Перегруппировка слагаемых показывает, что сумма биномиальных коэффициентов с чётными нижними индексами равна сумме коэффициентов с нечётными нижними индексами, что и доказывает утверждение задачи.