Номер 3.20, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.20, страница 24.

Условие.

3.20. Каких трёхзначных чисел больше: тех, у которых вторая цифра в десятичной записи больше первой и третьей, или тех, у которых вторая цифра меньше первой и третьей?

Решение.

Обозначим произвольное трехзначное число как $abc$, где $a$ – цифра в разряде сотен ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), $b$ – цифра в разряде десятков ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$), и $c$ – цифра в разряde единиц ($c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Рассмотрим два множества чисел, описанных в задаче.

тех, у которых вторая цифра в десятичной записи больше первой и третьей
Назовем это множество $A$. Для любого числа $abc \in A$ выполняются неравенства $b > a$ и $b > c$.

тех, у которых вторая цифра меньше первой и третьей
Назовем это множество $B$. Для любого числа $abc \in B$ выполняются неравенства $b < a$ и $b < c$.

Для того чтобы сравнить количество элементов в этих множествах, $|A|$ и $|B|$, установим между ними соответствие. Возьмем любое число $xyz$ из множества $B$ и сопоставим ему число $abc$ по правилу: $a = 9-z$, $b = 9-y$, $c = 9-x$.

Проверим свойства числа $abc$. Условие $b > a$ эквивалентно $9-y > 9-z$, что равносильно $y < z$. Условие $b > c$ эквивалентно $9-y > 9-x$, что равносильно $y < x$. Оба этих неравенства верны, так как число $xyz$ принадлежит множеству $B$. Таким образом, полученное число $abc$ обладает свойством, определяющим числа из множества $A$.

Чтобы число $abc$ было трехзначным, его первая цифра $a$ не должна быть равна нулю. Условие $a \neq 0$ означает, что $9-z \neq 0$, то есть $z \neq 9$.

Это преобразование устанавливает взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множеством $A$ и подмножеством чисел из $B$, у которых третья цифра не равна 9 (обозначим это подмножество $B_{z \neq 9}$). Следовательно, их количества равны: $|A| = |B_{z \neq 9}|$.

Множество $B$ можно представить как объединение двух непересекающихся подмножеств: $B_{z \neq 9}$ и $B_{z=9}$ (числа, у которых третья цифра равна 9). Тогда $|B| = |B_{z \neq 9}| + |B_{z=9}|$. Подставив $|A| = |B_{z \neq 9}|$, получаем: $|B| = |A| + |B_{z=9}|$.

Это равенство показывает, что чисел в множестве $B$ больше, чем в множестве $A$, ровно на количество чисел в подмножестве $B_{z=9}$. Найдем это количество. $B_{z=9}$ состоит из чисел вида $xy9$, для которых $y < x$ и $y < 9$. Условие $y < 9$ для цифры $y$ означает, что $y \in \{0, 1, ..., 8\}$. Остается посчитать количество пар цифр $(x, y)$ таких, что $x \in \{1, ..., 9\}$ и $y < x$.

Если $x=1$, то $y$ может быть только 0 (1 вариант). Если $x=2$, то $y$ может быть 0 или 1 (2 варианта). Продолжая эту логику, для $x=9$ $y$ может быть от 0 до 8 (9 вариантов). Общее число элементов в $B_{z=9}$ равно сумме арифметической прогрессии: $|B_{z=9}| = 1 + 2 + 3 + ... + 9 = \frac{9 \cdot (9+1)}{2} = 45$.

Поскольку $|B_{z=9}| = 45 > 0$, то $|B| > |A|$. Следовательно, трехзначных чисел, у которых вторая цифра меньше первой и третьей, больше.

Ответ: Больше тех трёхзначных чисел, у которых вторая цифра меньше первой и третьей.