Номер 3.14, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.14, страница 23.

Условие.

3.14. На каждой из двух параллельных прямых отметили по 100 точек.

Каждые две точки, лежащие на разных прямых, соединили отрезками. Каких пар отрезков больше: не имеющих общих точек или имеющих общую внутреннюю точку?

Решение.

Для решения этой задачи установим взаимно-однозначное соответствие между множеством пар отрезков, не имеющих общих точек, и множеством пар отрезков, имеющих общую внутреннюю точку. Пусть на двух параллельных прямых $L_1$ и $L_2$ отмечено по 100 точек.

Рассмотрим любую пару отрезков, принадлежащую к одному из двух типов, указанных в вопросе. Такая пара должна состоять из двух отрезков, не имеющих общих концов. В противном случае, если бы они имели общий конец, они бы не имели общей внутренней точки и не были бы парой, не имеющей общих точек (так как у них была бы одна общая точка — их общий конец).

Таким образом, любая рассматриваемая пара отрезков определяется четырьмя различными точками: двумя на прямой $L_1$ (назовем их $A_1, A_2$) и двумя на прямой $L_2$ (назовем их $B_1, B_2$).

Из этих четырех точек можно составить ровно две различные пары отрезков, соединяющих точки с разных прямых:

1. Пара $\{A_1B_1, A_2B_2\}$
2. Пара $\{A_1B_2, A_2B_1\}$

Проанализируем каждую из этих пар:

Пары отрезков, имеющих общую внутреннюю точку

Рассмотрим пару $\{A_1B_2, A_2B_1\}$. Поскольку прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны, четыре точки $A_1, A_2, B_2, B_1$ образуют выпуклый четырехугольник (трапецию). Отрезки $A_1B_2$ и $A_2B_1$ являются диагоналями этой трапеции и, следовательно, пересекаются во внутренней точке. Таким образом, любая четверка точек (две на одной прямой, две на другой) порождает ровно одну пару отрезков, имеющих общую внутреннюю точку.

Число способов выбрать 2 точки из 100 на прямой $L_1$ равно $C_{100}^2 = \binom{100}{2}$. Аналогично, число способов выбрать 2 точки из 100 на $L_2$ равно $\binom{100}{2}$.

Общее число пар отрезков, имеющих общую внутреннюю точку, равно произведению этих величин:

$K_{пересекающихся} = \binom{100}{2} \cdot \binom{100}{2}$.

Пары отрезков, не имеющих общих точек

Рассмотрим пару $\{A_1B_1, A_2B_2\}$. Эти отрезки являются боковыми сторонами трапеции $A_1A_2B_2B_1$. Так как точки $A_1, A_2$ лежат на одной прямой, а $B_1, B_2$ — на другой, параллельной ей прямой, эти отрезки не могут пересечься. Следовательно, они не имеют общих точек. Таким образом, любая четверка точек (две на одной прямой, две на другой) порождает ровно одну пару отрезков, не имеющих общих точек.

Число таких пар определяется тем же самым подсчетом:

$K_{\text{не имеющих общих точек}} = \binom{100}{2} \cdot \binom{100}{2}$.

Поскольку количество пар в обеих категориях определяется одной и той же комбинаторной формулой, их число равно.

$\binom{100}{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$.

Число пар каждого типа равно $4950^2 = 24\,502\,500$.

Ответ: Количество пар отрезков, не имеющих общих точек, равно количеству пар отрезков, имеющих общую внутреннюю точку.