Номер 3.12, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.12, страница 23.

Условие.

3.12. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры записаны в порядке возрастания, или тех, у которых цифры записаны в порядке убывания?

Решение.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо посчитать количество пятизначных чисел в каждой из двух указанных категорий, а затем сравнить полученные значения.

тех, у которых цифры записаны в порядке возрастания

Пусть пятизначное число состоит из цифр $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$. Если цифры записаны в порядке возрастания, то должно выполняться строгое неравенство $d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5$. Из этого условия следует, что все пять цифр в числе должны быть различны. Поскольку число является пятизначным, его первая цифра $d_1$ не может быть равна нулю. Так как $d_1$ — наименьшая из всех цифр числа, это означает, что 0 не может входить в набор выбранных пяти цифр. Следовательно, для составления таких чисел необходимо выбрать 5 различных цифр из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Каждый уникальный набор из 5 цифр можно расположить в порядке возрастания только одним способом. Например, из набора цифр $\{2, 8, 5, 1, 4\}$ можно составить только одно число с возрастающими цифрами — 12458. Таким образом, задача сводится к нахождению количества способов выбрать 5 элементов из 9, то есть к вычислению числа сочетаний $C_9^5$: $$C_9^5 = \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$$ Итак, существует 126 пятизначных чисел, у которых цифры записаны в порядке возрастания.

тех, у которых цифры записаны в порядке убывания

В этом случае для цифр пятизначного числа $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5$ должно выполняться неравенство $d_1 > d_2 > d_3 > d_4 > d_5$. Это также означает, что все цифры в числе должны быть различны. В отличие от предыдущего случая, здесь мы можем использовать цифру 0, так как первая цифра $d_1$ всегда будет наибольшей и, следовательно, не будет равна нулю (для этого нужно выбрать хотя бы одну ненулевую цифру, что необходимо для создания набора из 5 различных цифр). Мы выбираем 5 различных цифр из полного набора $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Любой такой набор из 5 цифр можно расположить в порядке убывания единственным способом. Например, из набора $\{3, 0, 9, 4, 7\}$ получается только одно число с убывающими цифрами — 97430. Задача сводится к нахождению количества способов выбрать 5 элементов из 10, то есть к вычислению числа сочетаний $C_{10}^5$: $$C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$$ Итак, существует 252 пятизначных числа, у которых цифры записаны в порядке убывания.

Сравнивая количество чисел в каждой группе, мы видим, что $252 > 126$.

Ответ: Пятизначных чисел, у которых цифры записаны в порядке убывания, больше, чем тех, у которых цифры записаны в порядке возрастания.