Номер 3.5, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.5, страница 22.

Условие.

3.5. Установлено ли взаимно однозначное соответствие между множествами A и B (рис. 3.4)? Точками на рисунке изображены элементы множеств.

a

б

в

г

Рис. 3.4

Решение.

а Взаимно однозначное соответствие (или биекция) между двумя множествами $A$ и $B$ установлено, если каждому элементу множества $A$ соответствует ровно один элемент множества $B$, и наоборот, каждому элементу множества $B$ соответствует ровно один элемент множества $A$. На рисунке а каждому из трех элементов множества $A$ сопоставлен один уникальный элемент из множества $B$, и все три элемента множества $B$ задействованы. Число элементов в множествах одинаково ($|A| = |B| = 3$). Таким образом, все условия для взаимно однозначного соответствия выполнены.
Ответ: да.

б На рисунке б, как и в предыдущем случае, множества $A$ и $B$ содержат одинаковое количество элементов ($|A| = |B| = 3$). Каждому элементу из $A$ поставлен в соответствие ровно один, причем уникальный, элемент из $B$. Также каждый элемент из $B$ является образом ровно одного элемента из $A$. Следовательно, это взаимно однозначное соответствие.
Ответ: да.

в На рисунке в множество $A$ содержит 3 элемента, а множество $B$ — 4 элемента. Необходимым условием для установления взаимно однозначного соответствия является равенство мощностей (количества элементов) множеств. Поскольку $|A| \neq |B|$, взаимно однозначное соответствие невозможно. В данном конкретном отображении одному элементу множества $B$ (нижнему) не соответствует ни один элемент из множества $A$.
Ответ: нет.

г На рисунке г множество $A$ содержит 3 элемента, а множество $B$ — 2 элемента. Так как число элементов в множествах не совпадает ($|A| \neq |B|$), взаимно однозначное соответствие между ними невозможно. В показанном на рисунке соответствии одному элементу множества $B$ (верхнему) соответствуют сразу два элемента из множества $A$, что нарушает условие инъективности (однозначности в обратную сторону).
Ответ: нет.