Номер 3.4, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.4, страница 22.

Условие.

3.4. В декабре было 10 ясных и безветренных дней, 15 дней был ветер и 12 дней шёл снег. Сколько дней в декабре была вьюга (снег и ветер)?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств и принципом включений-исключений. Общее количество дней в декабре — 31.

Введем обозначения для множеств дней:

$U$ – все дни в декабре, общее число дней $|U| = 31$.

$A$ – множество дней, когда был ветер. По условию, $|A| = 15$.

$B$ – множество дней, когда шёл снег. По условию, $|B| = 12$.

По условию, было 10 ясных и безветренных дней. Это дни, когда не было ни ветра, ни снега. Следовательно, количество дней, в которые наблюдалось хотя бы одно из этих погодных явлений (ветер или снег, или и то, и другое вместе), можно найти, вычтя из общего числа дней в декабре количество ясных и безветренных дней.

Количество дней с ветром или снегом (объединение множеств $A$ и $B$) равно:

$|A \cup B| = |U| - (\text{количество ясных и безветренных дней}) = 31 - 10 = 21$

Нас интересует, сколько дней была вьюга, то есть был и снег, и ветер одновременно. Это соответствует пересечению множеств $A$ и $B$, то есть величине $|A \cap B|$.

Формула включений-исключений для двух множеств выглядит следующим образом:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Из этой формулы можно выразить искомую величину $|A \cap B|$:

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Подставим известные значения в формулу:

$|A \cap B| = 15 + 12 - 21$

$|A \cap B| = 27 - 21$

$|A \cap B| = 6$

Таким образом, в декабре было 6 дней, когда была вьюга.

Ответ: 6