Номер 2.19, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.19, страница 17.

Условие.

2.19. Найдите подмножества $A$ и $B$ множества $C$, где $C \neq \emptyset$, такие, что

для любого подмножества $X$ множества $C$ выполняется равенство

$X \cap A = X \cup B$

Решение.

По условию, равенство $X \cap A = X \cup B$ должно выполняться для любого подмножества $X$ множества $C$. Это сильное условие, которое позволяет нам определить множества $A$ и $B$, подставляя вместо $X$ конкретные подмножества $C$.

Шаг 1: Найдем множество B.

Рассмотрим случай, когда $X = \emptyset$ (пустое множество). Поскольку $\emptyset$ является подмножеством любого множества, оно также является подмножеством $C$. Подставим $X = \emptyset$ в исходное равенство:

$ \emptyset \cap A = \emptyset \cup B $

Пересечение любого множества с пустым множеством равно пустому множеству ($ \emptyset \cap A = \emptyset $). Объединение любого множества с пустым множеством равно самому этому множеству ($ \emptyset \cup B = B $). Таким образом, равенство принимает вид:

$ \emptyset = B $

Отсюда следует, что множество $B$ должно быть пустым.

Шаг 2: Найдем множество A.

Теперь, зная, что $B=\emptyset$, мы можем упростить исходное равенство. Подставим $B = \emptyset$ в уравнение $X \cap A = X \cup B$:

$ X \cap A = X \cup \emptyset $

Это упрощается до:

$ X \cap A = X $

Это новое равенство должно также выполняться для любого подмножества $X$ множества $C$. Равенство $X \cap A = X$ означает, что все элементы множества $X$ содержатся в множестве $A$. Иными словами, $X$ должно быть подмножеством $A$ ($X \subseteq A$).

Поскольку это должно быть верно для любого подмножества $X$ множества $C$, то это должно быть верно и для самого множества $C$ (которое является своим подмножеством). Выберем $X = C$:

$ C \subseteq A $

При этом из условия задачи мы знаем, что $A$ — это подмножество $C$, то есть $A \subseteq C$. Единственный способ, которым оба включения, $C \subseteq A$ и $A \subseteq C$, могут быть истинными одновременно, — это если множества $A$ и $C$ равны.

$ A = C $

Шаг 3: Проверка.

Мы нашли, что $A = C$ и $B = \emptyset$. Проверим, удовлетворяет ли это решение исходному условию для произвольного $X \subseteq C$.

Подставляем $A=C$ и $B=\emptyset$ в $X \cap A = X \cup B$:

$ X \cap C = X \cup \emptyset $

Поскольку $X \subseteq C$, то их пересечение равно $X$ ($X \cap C = X$). Объединение любого множества с пустым множеством равно самому этому множеству ($X \cup \emptyset = X$). Получаем тождество:

$ X = X $

Это равенство верно для любого $X \subseteq C$, что подтверждает правильность нашего решения.

Ответ: $A = C$, $B = \emptyset$.