Номер 2.15, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.15, страница 17.

Условие.

2.15. Какие фигуры могут быть объединением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Решение.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения двух лучей на одной прямой. Пусть начала лучей — точки $A$ и $B$.

1. Луч

Объединением двух лучей, лежащих на одной прямой, может быть луч. Это происходит в том случае, когда оба луча сонаправлены, то есть направлены в одну и ту же сторону. Возможны два варианта:

а) Начала лучей совпадают ($A = B$). В этом случае лучи полностью идентичны, и их объединение — это тот же самый луч.

б) Начала лучей различны ($A \neq B$). В этом случае один из лучей является частью другого. Например, если точка $B$ лежит на луче с началом в точке $A$, то луч с началом в $B$ будет подмножеством луча с началом в $A$. Их объединение будет равно большему из лучей (тому, который содержит другой). Например, на числовой прямой объединение лучей $[a, +\infty)$ и $[b, +\infty)$ есть луч $[\min(a, b), +\infty)$.

Ответ: луч.

2. Прямая

Объединением двух лучей может быть прямая. Это происходит, когда лучи направлены в противоположные стороны и имеют хотя бы одну общую точку (т. е. их множества пересекаются). Рассмотрим два случая:

а) Начала лучей совпадают ($A = B$). Если из одной точки на прямой исходят два противоположно направленных луча, их объединение покрывает всю прямую. На числовой прямой это соответствует объединению $(-\infty, a] \cup [a, +\infty)$, что равно всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

б) Начала лучей различны, но лучи пересекаются. Если луч с началом в точке $A$ и луч с началом в точке $B$ направлены в противоположные стороны и их множества пересекаются (например, точка $A$ лежит на луче с началом в $B$), их объединение также составляет всю прямую. На числовой прямой это объединение лучей $[a, +\infty)$ и $(-\infty, b]$ при условии $a \le b$, что дает в результате всю прямую $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: прямая.

3. Объединение двух непересекающихся лучей

Объединением двух лучей может быть фигура, состоящая из двух лучей, которые лежат на одной прямой, но не имеют общих точек. Такую фигуру можно также описать как прямую с «выколотым» открытым промежутком (интервалом). Это происходит, когда лучи направлены в противоположные стороны и не пересекаются. То есть между их началами $A$ и $B$ существует промежуток, не принадлежащий ни одному из лучей. На числовой прямой это соответствует объединению лучей $(-\infty, a]$ и $[b, +\infty)$ при условии, что $a < b$. В результате получается множество $(-\infty, a] \cup [b, +\infty)$, а интервал $(a, b)$ не входит в объединение.

Ответ: объединение двух непересекающихся лучей (или прямая с выколотым интервалом).