Номер 2.14, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.14, страница 17.

Условие.

2.14. Начертите два треугольника так, чтобы их объединением был: 1) четырёхугольник; 2) треугольник; 3) шестиугольник. Может ли объединение треугольников быть отрезком?

Решение.

1) четырёхугольник

Чтобы объединением двух треугольников был четырёхугольник, достаточно взять два треугольника, имеющих одну общую сторону, и расположить их по разные стороны от этой общей стороны.

Например, начертим произвольный выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Проведём в нём диагональ $AC$. Эта диагональ разделит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Эти два треугольника имеют общую сторону $AC$. Их объединение, $\triangle ABC \cup \triangle ADC$, в точности совпадает с исходным четырёхугольником $ABCD$.

Ответ: Да, можно. Например, два треугольника с общей стороной, лежащие по разные стороны от неё.

2) треугольник

Чтобы объединением двух треугольников был треугольник, можно взять один большой треугольник и разделить его отрезком на два меньших.

Начертим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Возьмём на стороне $BC$ любую точку $D$ (не совпадающую с вершинами $B$ и $C$). Проведём отрезок $AD$. Этот отрезок разделит $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ADC$. Объединение этих двух треугольников, $\triangle ABD \cup \triangle ADC$, будет исходным треугольником $\triangle ABC$.

Ответ: Да, можно. Например, разделив один треугольник отрезком на два.

3) шестиугольник

Чтобы объединением двух треугольников был шестиугольник (в данном случае невыпуклый, в форме шестиконечной звезды), нужно расположить их так, чтобы они пересекались.

Начертим два одинаковых равносторонних треугольника. Расположим их центры в одной точке, но второй треугольник повернём на $60^\circ$ относительно первого. Объединение этих двух треугольников образует фигуру, известную как гексаграмма или Звезда Давида. Эта фигура является невыпуклым шестиугольником, так как у неё шесть вершин (углов).

Ответ: Да, можно. Например, в виде гексаграммы (шестиконечной звезды).

Может ли объединение треугольников быть отрезком?

Нет, объединение двух (невырожденных) треугольников не может быть отрезком.

Треугольник — это плоская (двумерная) фигура, которая имеет ненулевую площадь. Отрезок — это линейная (одномерная) фигура, площадь которой равна нулю. Объединение двух фигур, каждая из которых имеет положительную площадь, также будет иметь положительную площадь. Площадь объединения двух треугольников $T_1$ и $T_2$ вычисляется по формуле: $Area(T_1 \cup T_2) = Area(T_1) + Area(T_2) - Area(T_1 \cap T_2)$. Поскольку $Area(T_1) > 0$, $Area(T_2) > 0$ и $Area(T_1 \cap T_2) \le Area(T_1)$, то $Area(T_1 \cup T_2) \ge Area(T_2) > 0$. Так как площадь объединения двух треугольников всегда больше нуля, а площадь отрезка равна нулю, их объединение не может быть отрезком.

Ответ: Нет, не может.