Номер 2.13, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.13, страница 17.

Условие.

2.13. Найдите объединение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A=\{x \mid x^2 - 1 = 0\}, B=\{x \mid (x - 1)(x - 2) = 0\}$;

2) $A=\{x \mid 2x + 3 = 0\}, B=\{x \mid x^2 + 3 = 2\}$;

3) $A=\{x \mid x \in \mathbf{N}, x < 5\}, B=\{x \mid x \in \mathbf{N}, x < 7\}$;

Решение.

1) Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Сначала найдем элементы множества $A$, решив уравнение $x^2 - 1 = 0$. Из $x^2 = 1$ получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Таким образом, $A = \{-1, 1\}$.

Далее найдем элементы множества $B$, решив уравнение $(x - 1)(x - 2) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, то есть $x - 1 = 0$ или $x - 2 = 0$. Отсюда получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $B = \{1, 2\}$.

Объединением множеств $A$ и $B$ будет множество, включающее все уникальные элементы из $A$ и $B$: $A \cup B = \{-1, 1\} \cup \{1, 2\} = \{-1, 1, 2\}$.

Ответ: $A \cup B = \{-1, 1, 2\}$.

2) Найдем элементы множества $A$, решив уравнение $2x + 3 = 0$. Из $2x = -3$ получаем $x = -1.5$. Таким образом, $A = \{-1.5\}$.

Теперь найдем элементы множества $B$, решив уравнение $x^2 + 3 = 2$. Перенеся 3 в правую часть, получим $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, множество $B$ является пустым: $B = \emptyset$.

Объединение любого множества с пустым множеством равно самому этому множеству: $A \cup B = \{-1.5\} \cup \emptyset = \{-1.5\}$.

Ответ: $A \cup B = \{-1.5\}$.

3) Множество $A$ определено как $A = \{x | x \in \mathbb{N}, x < 5\}$. Элементами этого множества являются натуральные числа (положительные целые), которые меньше 5. Следовательно, $A = \{1, 2, 3, 4\}$.

Множество $B$ определено как $B = \{x | x \in \mathbb{N}, x < 7\}$. Элементами этого множества являются натуральные числа, которые меньше 7. Следовательно, $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Объединение множеств $A$ и $B$ содержит все элементы, которые есть в $A$ или в $B$. Так как все элементы множества $A$ также содержатся в множестве $B$ ($A \subset B$), их объединение будет равно множеству $B$.

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ответ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.