Номер 2.6, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.6, страница 16.

Условие.

2.6. Найдите пересечение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ — множество равнобедренных треугольников, $B$ — множество равносторонних треугольников;

2) $A$ — множество прямоугольных треугольников, $B$ — множество равносторонних треугольников;

3) $A$ — множество двузначных чисел, $B$ — множество натуральных чисел, кратных 19;

4) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество простых чисел.

Решение.

1) Пересечением множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$) является множество элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Множество $A$ — это множество равнобедренных треугольников. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. Множество $B$ — это множество равносторонних треугольников. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Любой равносторонний треугольник имеет три равные стороны, а значит, у него есть и две равные стороны. Следовательно, каждый равносторонний треугольник является также и равнобедренным. Это означает, что множество равносторонних треугольников $B$ является подмножеством множества равнобедренных треугольников $A$ ($B \subset A$). Таким образом, пересечением этих двух множеств будут все треугольники, которые являются и равнобедренными, и равносторонними, то есть все равносторонние треугольники. Следовательно, $A \cap B = B$.
Ответ: $A \cap B = B$ (множество равносторонних треугольников).

2) Множество $A$ — это множество прямоугольных треугольников. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$. Сумма двух других острых углов также равна $90^\circ$. Множество $B$ — это множество равносторонних треугольников. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$, так как сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$ ($180^\circ / 3 = 60^\circ$). Чтобы найти пересечение $A \cap B$, нужно найти треугольники, которые являются одновременно и прямоугольными, и равносторонними. Такой треугольник должен был бы иметь один угол $90^\circ$ (как прямоугольный) и в то же время все углы по $60^\circ$ (как равносторонний). Эти два условия несовместимы. Следовательно, не существует треугольников, принадлежащих обоим множествам. Пересечение этих множеств является пустым множеством.
Ответ: $A \cap B = \emptyset$ (пустое множество).

3) Множество $A$ — это множество двузначных чисел. Это целые числа от 10 до 99 включительно: $A = \{10, 11, \ldots, 99\}$. Множество $B$ — это множество натуральных чисел, кратных 19. То есть, $B = \{19 \cdot n \mid n \in \mathbb{N}\} = \{19, 38, 57, 76, 95, 114, \ldots\}$. Пересечение $A \cap B$ будет содержать элементы, которые являются двузначными числами и при этом делятся на 19. Найдем такие числа, вычисляя кратные 19, пока они остаются двузначными: $19 \cdot 1 = 19$; $19 \cdot 2 = 38$; $19 \cdot 3 = 57$; $19 \cdot 4 = 76$; $19 \cdot 5 = 95$. Следующее кратное, $19 \cdot 6 = 114$, уже является трехзначным числом и не входит в множество $A$. Таким образом, элементами пересечения являются числа 19, 38, 57, 76, 95.
Ответ: $A \cap B = \{19, 38, 57, 76, 95\}$.

4) Множество $A$ — это множество однозначных чисел. Будем рассматривать натуральные однозначные числа: $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Множество $B$ — это множество простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. $B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots\}$. Пересечение $A \cap B$ будет содержать числа, которые являются одновременно однозначными и простыми. Проверим каждое число из множества $A$: 1 не является простым по определению; 2, 3, 5, 7 являются простыми; 4, 6, 8, 9 являются составными, так как имеют делители кроме 1 и самих себя. Таким образом, в пересечение входят однозначные простые числа.
Ответ: $A \cap B = \{2, 3, 5, 7\}$.