Номер 2.11, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.11, страница 16.

Условие.

2.11. Какое из следующих утверждений верно:

1) ${a, b} \cup {b} = {a, b}$;

2) ${a, b} \cup {b} = {b}$;

3) ${a, b} \cup {a} = {a}$;

4) ${a, b} \cup {b} = {{b}}$?

Решение.

1) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$

Объединение множеств — это операция, в результате которой получается множество, содержащее все элементы из исходных множеств, при этом каждый элемент включается в результат только один раз. Множество $\{a, b\}$ состоит из элементов $a$ и $b$. Множество $\{b\}$ состоит из элемента $b$. Объединив эти множества, мы получим множество, состоящее из всех уникальных элементов, то есть $\{a, b\}$. Таким образом, равенство $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$ является истинным.

Ответ: утверждение верно.

2) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{b\}$

Как установлено в предыдущем пункте, результат операции объединения $\{a, b\} \cup \{b\}$ равен $\{a, b\}$. Следовательно, данное утверждение эквивалентно равенству $\{a, b\} = \{b\}$. Это равенство справедливо только в частном случае, когда $a = b$. В общем случае, когда $a$ и $b$ являются различными элементами, оно неверно, поскольку элемент $a$ принадлежит множеству в левой части, но не принадлежит множеству в правой части. Таким образом, утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

3) $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a\}$

Аналогично предыдущим пунктам, результатом объединения множества $\{a, b\}$ и множества $\{a\}$ является множество $\{a, b\}$. Утверждение сводится к равенству $\{a, b\} = \{a\}$, которое в общем случае неверно, так как элемент $b$ (если $b \neq a$) принадлежит левой части, но не принадлежит правой.

Ответ: утверждение неверно.

4) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{\{b\}\}$

Результат левой части равенства, как мы выяснили, это $\{a, b\}$. Правая часть равенства — это множество $\{\{b\}\}$, которое содержит один элемент, этим элементом является другое множество — $\{b\}$. Равенство $\{a, b\} = \{\{b\}\}$ неверно, так как элементы этих множеств различны. Элементы левого множества — это $a$ и $b$, а элемент правого множества — это $\{b\}$.

Ответ: утверждение неверно.