Номер 2.5, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.5, страница 16.

Условие.

2.5. Какое из следующих утверждений верно:

1) $\{a, b\} \cap \{a\} = a;$

2) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a, b\};$

3) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\};$

4) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{b\}?$

Решение.

Для определения верного утверждения необходимо выполнить операцию пересечения множеств. Пересечение двух множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cap B$, — это множество, которое содержит все элементы, принадлежащие одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

В данном случае у нас есть два множества: $\{a, b\}$ и $\{a\}$. Найдём их пересечение. Множество $\{a, b\}$ содержит элементы $a$ и $b$. Множество $\{a\}$ содержит только элемент $a$. Общим для обоих множеств является только элемент $a$. Следовательно, результат пересечения — это множество, содержащее только элемент $a$.

Математически это записывается так: $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

1) $\{a, b\} \cap \{a\} = a$
Данное утверждение неверно. Результат операции пересечения множеств всегда является множеством. В левой части равенства находится множество $\{a\}$, а в правой — элемент $a$. Множество не может быть равно своему элементу.
Ответ: неверно.

2) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a, b\}$
Данное утверждение неверно. Как мы определили, $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}$. Равенство $\{a\} = \{a, b\}$ было бы верным только в том случае, если бы множество $\{a, b\}$ не содержало других элементов, кроме $a$, что противоречит его записи (если $a \neq b$).
Ответ: неверно.

3) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}$
Данное утверждение верно. Результат пересечения множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$ действительно является множеством, состоящим из их единственного общего элемента $a$, то есть $\{a\}$.
Ответ: верно.

4) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{b\}$
Данное утверждение неверно. Элемент $b$ не принадлежит множеству $\{a\}$, поэтому он не может входить в состав пересечения этих двух множеств.
Ответ: неверно.