Номер 2.9, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.9, страница 16.

Условие.

2.9. Какие фигуры могут быть пересечением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Решение.

Для того чтобы определить, какие фигуры могут получиться в результате пересечения двух лучей, лежащих на одной прямой, необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения и направления.

Луч

Если два луча на прямой сонаправлены (направлены в одну и ту же сторону), их пересечением всегда будет луч. Этот результирующий луч будет совпадать с тем из исходных лучей, начало которого расположено "дальше" по общему направлению. В частном случае, когда начала лучей совпадают, их пересечение — это сам этот луч.

Например, пусть один луч задан множеством точек с координатами $x \ge a$, что можно записать как $ [a, +\infty) $. Второй луч задан как $ [b, +\infty) $. Их пересечение будет равно $ [\max(a, b), +\infty) $, что также является лучом.

Ответ: луч.

Отрезок

Если два луча на прямой направлены в противоположные стороны и "навстречу" друг другу (то есть, начало одного луча принадлежит другому), то их пересечением будет отрезок. Концами этого отрезка являются начала данных лучей.

Например, пусть один луч задан как $ [a, +\infty) $, а второй — как $ (-\infty, b] $. Если $ a \le b $, то их пересечением будет множество точек $ [a, b] $, которое является отрезком.

Ответ: отрезок.

Точка

Если два луча на прямой имеют общее начало, но направлены в противоположные стороны, то у них будет только одна общая точка — их общее начало. Таким образом, их пересечением является точка.

Например, пересечение лучей $ [a, +\infty) $ и $ (-\infty, a] $ — это множество, состоящее из одной точки $ \{a\} $.

Ответ: точка.

Пустое множество

Если два луча на прямой направлены в противоположные стороны и "в разные стороны" друг от друга (то есть, не перекрываются), то у них нет общих точек. В этом случае их пересечение является пустым множеством.

Например, пусть один луч задан как $ [a, +\infty) $, а второй — как $ (-\infty, b] $. Если $ a > b $, то у лучей нет общих точек, и их пересечение равно пустому множеству $ \emptyset $.

Ответ: пустое множество.