Номер 2.8, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.8, страница 16.

Условие.

2.8. Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением была геометрическая фигура:
1) отрезок;
2) точка;
3) треугольник;
4) пятиугольник;
5) шестиугольник.

Решение.

Для решения этой задачи нужно представить, как две треугольные области могут пересекаться на плоскости. Пересечением двух выпуклых фигур (каковыми являются треугольники) всегда будет выпуклая фигура. Количество вершин у фигуры-пересечения не может превышать 6 (3+3).

Ниже представлены способы начертить два треугольника для каждого из требуемых случаев.

1) отрезок

Чтобы пересечением двух треугольников был отрезок, можно расположить их так, чтобы они имели одну общую сторону, а сами треугольники лежали в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей эту сторону. Например, возьмём треугольник $\triangle ABC$ и треугольник $\triangle ADC$. Их общей частью (пересечением) будет отрезок $AC$.

Как начертить:

1. Начертите треугольник $\triangle ABC$.

2. От стороны $AC$ постройте второй треугольник $\triangle ADC$ так, чтобы вершины $B$ и $D$ находились по разные стороны от прямой $AC$.

В результате пересечением этих двух треугольников будет их общая сторона — отрезок $AC$.

Ответ: Два треугольника, имеющие общую сторону и лежащие по разные стороны от прямой, содержащей эту сторону.

2) точка

Чтобы пересечением двух треугольников была точка, можно расположить их так, чтобы они соприкасались вершинами, не имея других общих частей. Например, у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$ может быть одна общая вершина $C$.

Как начертить:

1. Начертите треугольник $\triangle ABC$.

2. Начертите второй треугольник $\triangle CDE$ так, чтобы он имел с первым только одну общую точку — вершину $C$.

Пересечением этих двух фигур будет точка $C$.

Ответ: Два треугольника, соприкасающиеся только в одной общей вершине.

3) треугольник

Самый простой способ получить в пересечении треугольник — это расположить один треугольник полностью внутри другого.

Как начертить:

1. Начертите большой треугольник $\triangle ABC$.

2. Внутри области, ограниченной первым треугольником, начертите второй, меньший по размеру, треугольник $\triangle DEF$.

Поскольку второй треугольник полностью находится внутри первого, их пересечением будет сам треугольник $\triangle DEF$.

Ответ: Один треугольник расположен полностью внутри другого.

4) пятиугольник

Получить в пересечении пятиугольник сложнее. Для этого нужно, чтобы стороны треугольников пересекались определенным образом. Проще всего представить такое построение, отталкиваясь от самой фигуры пятиугольника.

Как начертить:

1. Начертите произвольный выпуклый пятиугольник. Обозначим его вершины $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$.

2. Продлите три его последовательные стороны, например, $V_1V_2$, $V_2V_3$ и $V_3V_4$, до их взаимного пересечения. Эти три прямые образуют первый большой треугольник $T_1$, внутри которого целиком лежит наш пятиугольник.

3. Продлите две оставшиеся стороны пятиугольника, $V_4V_5$ и $V_5V_1$. Проведите третью прямую, которая не пересекает пятиугольник, но пересекает две предыдущие прямые. Эти три прямые образуют второй треугольник $T_2$, который также целиком содержит пятиугольник.

Пересечением построенных треугольников $T_1$ и $T_2$ будет исходный пятиугольник.

Ответ: Можно построить два треугольника, пересечением которых будет пятиугольник, например, описанным выше способом, где стороны треугольников строятся на основе продления сторон исходного пятиугольника.

5) шестиугольник

Классический способ получить шестиугольник в пересечении — это наложить один треугольник на другой с поворотом. В результате получается фигура, известная как Звезда Давида.

Как начертить:

1. Начертите равносторонний треугольник $\triangle ABC$.

2. Начертите второй равносторонний треугольник $\triangle DEF$, равный первому, но повернутый на 180 градусов (вершиной вниз).

3. Наложите второй треугольник на первый так, чтобы их центры совпадали.

Каждая сторона одного треугольника пересечет две стороны другого. Точки их пересечения (всего их 6) образуют вершины правильного шестиугольника, который и является пересечением двух треугольников.

Ответ: Два равных равносторонних треугольника, наложенные друг на друга с поворотом на 180 градусов и совмещенными центрами.