Номер 2.20, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.20, страница 17.

Условие.

2.20. Вынесите за скобки общий множитель ($n$ — натуральное число):

1) $x^{n+3} + x^n$;

2) $y^{n+2} - y^{n-2}$, $n > 2$;

3) $z^{3n} - z^n$;

4) $5^{n+4} + 2 \cdot 5^{n+2} - 3 \cdot 5^{n+1}$.

Решение.

1) В выражении $x^{n+3} + x^n$ необходимо найти общий множитель. Для этого используем свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Представим член $x^{n+3}$ в виде произведения:
$x^{n+3} = x^n \cdot x^3$
Теперь исходное выражение можно записать так:
$x^n \cdot x^3 + x^n$
Общим множителем является $x^n$. Вынесем его за скобки:
$x^n(x^3 + 1)$
Ответ: $x^n(x^3 + 1)$

2) В выражении $y^{n+2} - y^{n-2}$ (при условии $n > 2$) общим множителем для степеней с одинаковым основанием является степень с наименьшим показателем. В данном случае наименьший показатель — это $n-2$.
Представим член $y^{n+2}$ через $y^{n-2}$, используя тождество $y^{n+2} = y^{(n-2)+4} = y^{n-2} \cdot y^4$.
Исходное выражение примет вид:
$y^{n-2} \cdot y^4 - y^{n-2}$
Вынесем общий множитель $y^{n-2}$ за скобки:
$y^{n-2}(y^4 - 1)$
Ответ: $y^{n-2}(y^4 - 1)$

3) В выражении $z^{3n} - z^n$ наименьший показатель степени равен $n$. Таким образом, общий множитель — это $z^n$.
Представим $z^{3n}$ как $z^{n+2n} = z^n \cdot z^{2n}$.
Выражение можно переписать в виде:
$z^n \cdot z^{2n} - z^n$
Вынесем $z^n$ за скобки:
$z^n(z^{2n} - 1)$
Ответ: $z^n(z^{2n} - 1)$

4) В выражении $5^{n+4} + 2 \cdot 5^{n+2} - 3 \cdot 5^{n+1}$ общим множителем является степень числа 5 с наименьшим показателем, то есть $5^{n+1}$.
Представим каждый член выражения через $5^{n+1}$:
$5^{n+4} = 5^{(n+1)+3} = 5^{n+1} \cdot 5^3 = 125 \cdot 5^{n+1}$
$2 \cdot 5^{n+2} = 2 \cdot 5^{(n+1)+1} = 2 \cdot 5^{n+1} \cdot 5^1 = 10 \cdot 5^{n+1}$
Третий член уже содержит $5^{n+1}$: $3 \cdot 5^{n+1}$.
Подставим преобразованные члены в исходное выражение:
$125 \cdot 5^{n+1} + 10 \cdot 5^{n+1} - 3 \cdot 5^{n+1}$
Теперь вынесем $5^{n+1}$ за скобки и выполним действия с коэффициентами:
$5^{n+1}(125 + 10 - 3) = 5^{n+1}(132) = 132 \cdot 5^{n+1}$
Ответ: $132 \cdot 5^{n+1}$