Номер 3.2, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.2, страница 22.

Условие.

3.2. Известно, что 26 жильцов дома содержат кошек и собак, у 16 из них есть кошки, а у 15 — собаки. Сколько жильцов дома содержат и собаку, и кошку?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием множеств и формулой включений-исключений. Пусть $K$ — это множество жильцов, у которых есть кошки, а $C$ — множество жильцов, у которых есть собаки. Нам нужно найти количество жильцов, которые входят в оба множества одновременно, то есть найти число элементов в их пересечении ($|K \cap C|$).

Из условия задачи нам известны следующие данные:

1. Общее количество жильцов, у которых есть кошки или собаки (или и те, и другие), составляет 26. Это мощность объединения множеств $K$ и $C$: $|K \cup C| = 26$.

2. Количество жильцов, у которых есть кошки, равно 16. Это мощность множества $K$: $|K| = 16$.

3. Количество жильцов, у которых есть собаки, равно 15. Это мощность множества $C$: $|C| = 15$.

Формула включений-исключений для двух множеств выглядит так:

$|K \cup C| = |K| + |C| - |K \cap C|$

Эта формула означает, что общее число элементов в двух множествах равно сумме элементов в каждом из них минус число элементов, которые принадлежат обоим множествам (чтобы не посчитать их дважды).

Чтобы найти количество жильцов, у которых есть и кошка, и собака ($|K \cap C|$), мы можем преобразовать формулу:

$|K \cap C| = |K| + |C| - |K \cup C|$

Теперь подставим в нее известные нам значения:

$|K \cap C| = 16 + 15 - 26$

Выполним вычисления:

$|K \cap C| = 31 - 26$

$|K \cap C| = 5$

Следовательно, 5 жильцов дома содержат и кошку, и собаку.

Ответ: 5.