Номер 2.21, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 2. Операции над множествами - номер 2.21, страница 17.

Условие.

2.21. Каждому числу поставили в соответствие расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта. Объясните, почему описанное правило является функцией. Найдите её область определения и область значений. Обозначив эту функцию буквой $f$, найдите $f(2)$, $f(-5)$, $f(0)$. Какая из данных формул задаёт функцию $f$:

1) $y = x$;

2) $y = -x$;

3) $y = |x|$;

4) $y = x^2$?

Решение.

Объяснение, почему описанное правило является функцией

По определению, функция — это правило, согласно которому каждому элементу из области определения (входному значению) соответствует ровно один элемент из области значений (выходное значение). В данном случае, каждому числу $x$ на координатной прямой соответствует одна-единственная точка. Расстояние от этой точки до начала отсчёта (точки 0) также является единственным и однозначно определённым числом. Так как каждому числу $x$ соответствует только одно значение (расстояние), это правило является функцией.

Ответ: Правило является функцией, так как каждому числу $x$ соответствует единственное значение — расстояние от точки $x$ до 0.

Область определения и область значений

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех чисел, для которых можно вычислить значение функции. Поскольку любое действительное число можно изобразить на координатной прямой и найти расстояние от него до нуля, область определения — это множество всех действительных чисел.

Область значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать функция. Расстояние — это всегда неотрицательная величина. Оно может быть равно нулю (для точки 0) или любому положительному числу. Следовательно, область значений — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.

Нахождение $f(2)$, $f(-5)$, $f(0)$

Функция $f(x)$ сопоставляет числу $x$ расстояние от точки, изображающей это число, до начала отсчёта.

$f(2)$ — это расстояние от точки 2 до точки 0. Это расстояние равно 2.

$f(-5)$ — это расстояние от точки -5 до точки 0. Это расстояние равно 5.

$f(0)$ — это расстояние от точки 0 до точки 0. Это расстояние равно 0.

Ответ: $f(2) = 2$, $f(-5) = 5$, $f(0) = 0$.

Формула, задающая функцию $f$

Расстояние от точки с координатой $x$ до начала отсчёта на координатной прямой вычисляется как модуль (абсолютная величина) числа $x$, то есть $f(x) = |x|$. Проверим предложенные формулы, используя найденные ранее значения:

1) $y = x$. Неверно, так как при $x = -5$ получаем $y = -5$, а $f(-5) = 5$.

2) $y = -x$. Неверно, так как при $x = 2$ получаем $y = -2$, а $f(2) = 2$.

3) $y = |x|$. Верно. Эта формула даёт правильное расстояние для любого $x$. Например, $|2| = 2$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$.

4) $y = x^2$. Неверно, так как при $x = 2$ получаем $y = 2^2 = 4$, а $f(2) = 2$.

Ответ: 3) $y = |x|$.