Номер 3.16, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.16, страница 23.

Условие.

3.16. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых вы-ражены натуральными числами. Каких прямоугольников больше:с периметром, равным 1000, или с периметром, равным 1002?

Решение.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника. По условию, $a$ и $b$ являются натуральными числами ($a \ge 1, b \ge 1$). Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Число различных прямоугольников равно числу уникальных пар натуральных чисел $(a, b)$. Так как порядок сторон не имеет значения (прямоугольник со сторонами $a \times b$ — тот же самый, что и $b \times a$), мы будем считать только те пары, в которых $a \le b$, чтобы избежать повторений.

Сначала рассмотрим случай с периметром, равным 1000. Из уравнения периметра получаем:
$2(a+b) = 1000$
$a+b = 500$
Нам нужно найти количество пар натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющих этому равенству и условию $a \le b$. Из $a \le b$ и $a+b=500$ следует $a \le 500-a$, что приводит к неравенству $2a \le 500$, или $a \le 250$. Поскольку $a$ — натуральное число ($a \ge 1$), оно может принимать любое целое значение от 1 до 250. Каждое такое значение $a$ определяет единственное значение $b$ и, соответственно, один уникальный прямоугольник. Количество таких значений для $a$ равно $250 - 1 + 1 = 250$. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1000.

Теперь рассмотрим случай с периметром, равным 1002. Из уравнения периметра получаем:
$2(a+b) = 1002$
$a+b = 501$
Аналогично, ищем количество пар натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющих этому равенству и условию $a \le b$. Из $a \le b$ и $a+b=501$ следует $a \le 501-a$, что приводит к неравенству $2a \le 501$, или $a \le 250.5$. Так как $a$ должно быть целым числом, максимальное значение для $a$ равно 250. Таким образом, $a$ может принимать любое целое значение от 1 до 250. Каждое такое значение $a$ определяет один уникальный прямоугольник. Количество таких значений для $a$ равно $250 - 1 + 1 = 250$. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1002.

Сравнив количество прямоугольников для обоих периметров, мы видим, что в обоих случаях их по 250. Таким образом, их количество одинаково.

Ответ: Прямоугольников с периметром 1000 и с периметром 1002 одинаковое количество.