Номер 3.13, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.13, страница 23.

Условие.

3.13. В выпуклом $n$-угольнике $(n \ge 4)$ никакие три диагонали не пересекаются¹ в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

Решение.

Чтобы доказать данное утверждение, установим взаимно-однозначное соответствие (биекцию) между множеством всех точек пересечения диагоналей и множеством всех четырехугольников, вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника.

1. Рассмотрение со стороны четырехугольников.

Количество четырехугольников, все вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника, равно количеству способов выбрать 4 вершины из $n$ имеющихся. Это число равно числу сочетаний из $n$ по 4:

$C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!}$

Возьмем любой такой четырехугольник, образованный четырьмя вершинами $A, B, C, D$ исходного $n$-угольника. Поскольку $n$-угольник выпуклый, любой четырехугольник, образованный его вершинами, также будет выпуклым. У такого четырехугольника есть ровно две диагонали (например, $AC$ и $BD$), которые пересекаются ровно в одной точке внутри этого четырехугольника, а следовательно, и внутри исходного $n$-угольника.

Таким образом, каждый набор из четырех вершин $n$-угольника однозначно определяет один четырехугольник и одну точку пересечения диагоналей.

2. Рассмотрение со стороны точек пересечения.

Теперь рассмотрим любую точку пересечения диагоналей внутри $n$-угольника. По условию задачи, никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Это значит, что каждая точка пересечения является результатом пересечения ровно двух диагоналей.

Пусть эти диагонали — $AC$ и $BD$. Их концами являются четыре различные вершины $A, B, C, D$ исходного $n$-угольника. Эти четыре вершины однозначно определяют выпуклый четырехугольник, для которого данная точка является точкой пересечения его диагоналей.

Таким образом, каждая точка пересечения диагоналей однозначно определяет один набор из четырех вершин $n$-угольника.

Вывод.

Мы установили, что каждому набору из четырех вершин (что эквивалентно одному четырехугольнику) соответствует ровно одна точка пересечения диагоналей, и наоборот, каждой точке пересечения диагоналей соответствует ровно один набор из четырех вершин (один четырехугольник).

Следовательно, количество точек пересечения диагоналей равно количеству четырехугольников, вершины которых являются вершинами данного $n$-угольника. Оба этих количества равны $C_n^4$.

Ответ: Утверждение доказано.