Номер 3.22, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 3. Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие - номер 3.22, страница 24.

Условие.

3.22. Рассматриваются треугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами. Каких треугольников больше: с периметром, равным 997, или с периметром, равным 1000?

Решение.

Для того чтобы три отрезка с длинами $a$, $b$ и $c$, выраженными натуральными числами, могли образовать треугольник, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. Сумма их длин должна быть равна периметру $P$: $a+b+c=P$.
2. Должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, $a+b>c$, $a+c>b$ и $b+c>a$.

Из первого условия $a+b=P-c$. Подставив это в неравенство $a+b>c$, получим $P-c>c$, что эквивалентно $P>2c$ или $c < P/2$. Аналогично можно показать, что $a < P/2$ и $b < P/2$. Таким образом, задача сводится к подсчету количества наборов натуральных чисел $\{a, b, c\}$, удовлетворяющих условиям:

• $a+b+c=P$
• $a < P/2$, $b < P/2$, $c < P/2$

Сравним количество таких наборов для $P=997$ и $P=1000$.

Количество треугольников с периметром 1000

Пусть периметр $P=1000$. Условия для сторон $a, b, c$ принимают вид:

• $a, b, c \in \mathbb{N}$
• $a+b+c=1000$
• $a < 500$, $b < 500$, $c < 500$

Рассмотрим преобразование переменных: $x = 500-a$, $y = 500-b$, $z = 500-c$.
Поскольку $a,b,c$ — натуральные числа и $a,b,c < 500$, то $x,y,z$ также являются натуральными числами (например, если $a=1$, $x=499$; если $a=499$, $x=1$).
Найдем сумму новых переменных:
$x+y+z = (500-a) + (500-b) + (500-c) = 1500 - (a+b+c) = 1500 - 1000 = 500$.
Это преобразование является взаимно-однозначным (биекцией). Каждому треугольнику со сторонами $\{a, b, c\}$ и периметром 1000 соответствует уникальный набор натуральных чисел $\{x, y, z\}$, сумма которых равна 500, и наоборот. Следовательно, количество треугольников с периметром 1000 равно количеству способов разбить число 500 на три натуральных слагаемых.

Количество треугольников с периметром 997

Пусть периметр $P=997$. Условия для сторон $a, b, c$ принимают вид:

• $a, b, c \in \mathbb{N}$
• $a+b+c=997$
• $a < 997/2$, $b < 997/2$, $c < 997/2$. Так как стороны целочисленные, это эквивалентно $a \le 498$, $b \le 498$, $c \le 498$.

Применим аналогичное преобразование: $x' = 500-a$, $y' = 500-b$, $z' = 500-c$.
Поскольку $a,b,c$ — натуральные числа и $a,b,c \le 498$, то $x',y',z'$ являются целыми числами, большими или равными $500-498=2$.
Найдем сумму новых переменных:
$x'+y'+z' = (500-a) + (500-b) + (500-c) = 1500 - (a+b+c) = 1500 - 997 = 503$.
Таким образом, количество треугольников с периметром 997 равно количеству способов разбить число 503 на три целых слагаемых, каждое из которых не меньше 2.

Чтобы сравнить это количество с результатом для $P=1000$, введем еще одну замену. Пусть $x = x'-1$, $y = y'-1$, $z = z'-1$.
Поскольку $x',y',z' \ge 2$, то $x,y,z$ являются натуральными числами ($x,y,z \ge 1$).
Их сумма равна:
$x+y+z = (x'-1) + (y'-1) + (z'-1) = (x'+y'+z') - 3 = 503 - 3 = 500$.
Следовательно, количество способов разбить число 503 на три слагаемых, не меньших 2, равно количеству способов разбить число 500 на три натуральных слагаемых.

Таким образом, количество треугольников с периметром 1000 и количество треугольников с периметром 997 сводятся к одной и той же комбинаторной задаче — нахождению числа разбиений числа 500 на три натуральных слагаемых. Значит, их количества равны.

Ответ: Количество треугольников с периметром 997 равно количеству треугольников с периметром 1000.