Номер 4.1, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.1, страница 28.

Условие.

4.1. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 3.

Решение.

Для установления взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 3, необходимо найти правило (функцию), которое каждому элементу первого множества сопоставляет ровно один элемент второго, и наоборот, каждому элементу второго множества сопоставляется ровно один элемент первого. Такое соответствие называется биекцией.

Обозначим множество натуральных чисел через $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ и множество натуральных чисел, кратных 3, через $M = \{3, 6, 9, 12, \dots\}$.

Рассмотрим правило, по которому каждому натуральному числу $n \in N$ ставится в соответствие число $3n$. Это правило можно описать функцией $f: N \to M$, где $f(n) = 3n$.

Докажем, что данная функция $f(n) = 3n$ является биекцией. Для этого необходимо показать, что она является инъективной и сюръективной.

1. Инъективность.
Функция инъективна, если разным элементам из области определения соответствуют разные элементы из области значений. То есть, если $n_1 \neq n_2$, то $f(n_1) \neq f(n_2)$.
Допустим, существуют $n_1, n_2 \in N$ такие, что $f(n_1) = f(n_2)$. По определению функции это означает, что $3n_1 = 3n_2$. Разделив обе части равенства на 3, получаем $n_1 = n_2$.
Это доказывает, что функция может принимать одинаковые значения только при одинаковых аргументах, следовательно, она инъективна.

2. Сюръективность.
Функция сюръективна, если для любого элемента $m$ из множества $M$ существует такой элемент $n$ из множества $N$, что $f(n) = m$.
Возьмем произвольный элемент $m \in M$. По определению множества $M$, число $m$ является натуральным и делится на 3. Это значит, что $m$ можно представить в виде $m = 3k$ для некоторого натурального числа $k$.
Выберем $n = k = m/3$. Поскольку $m$ — натуральное число, кратное 3, то $n = m/3$ всегда будет натуральным числом, то есть $n \in N$.
Найдем значение функции $f$ для этого $n$: $f(n) = f(m/3) = 3 \cdot (m/3) = m$.
Таким образом, для любого элемента $m \in M$ мы нашли соответствующий ему элемент $n \in N$. Следовательно, функция сюръективна.

Поскольку функция $f(n) = 3n$ является одновременно инъективной и сюръективной, она представляет собой биекцию между множествами $N$ и $M$. Это означает, что установлено взаимно однозначное соответствие.

Примеры такого соответствия:
$1 \leftrightarrow 3$
$2 \leftrightarrow 6$
$3 \leftrightarrow 9$
...
$n \leftrightarrow 3n$

Ответ: Взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N$ и множеством натуральных чисел, кратных 3, $M$, устанавливается функцией $f(n) = 3n$, где $n \in N$. Каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие число $3n$, а каждому натуральному числу $m$, кратному 3, ставится в соответствие число $m/3$.