Номер 4.8, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.8, страница 28.

Условие.

4.8. Докажите, что множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.

Решение.

Для доказательства того, что два множества равномощны, необходимо и достаточно установить между ними взаимно-однозначное соответствие, то есть биекцию.

Рассмотрим две произвольные концентрические окружности, $C_1$ и $C_2$. Поместим их общий центр $O$ в начало декартовой системы координат $(0,0)$. Пусть радиус окружности $C_1$ равен $r_1$, а радиус окружности $C_2$ равен $r_2$. По определению окружности, $r_1 > 0$ и $r_2 > 0$.

Определим отображение $f: C_1 \to C_2$, которое каждой точке $P_1$ на окружности $C_1$ ставит в соответствие точку $P_2$ на окружности $C_2$. Каждую точку на плоскости можно задать её радиус-вектором, проведенным из начала координат. Пусть точка $P_1 \in C_1$ имеет радиус-вектор $\vec{v_1} = \vec{OP_1}$. Длина этого вектора равна радиусу окружности: $|\vec{v_1}| = r_1$.

Зададим наше отображение следующей формулой, которая сопоставляет точке $P_1$ с вектором $\vec{v_1}$ точку $P_2$ с вектором $\vec{v_2}$:

$\vec{v_2} = \frac{r_2}{r_1} \vec{v_1}$

Геометрически это означает, что точка $P_2$ лежит на том же луче, что и точка $P_1$ (так как вектор $\vec{v_2}$ коллинеарен вектору $\vec{v_1}$ и сонаправлен с ним), но на окружности $C_2$. Проверим, что точка $P_2$ действительно принадлежит окружности $C_2$, найдя длину её радиус-вектора:

$|\vec{v_2}| = |\frac{r_2}{r_1} \vec{v_1}| = \frac{r_2}{r_1} |\vec{v_1}| = \frac{r_2}{r_1} \cdot r_1 = r_2$

Длина вектора $\vec{v_2}$ равна $r_2$, следовательно, точка $P_2$ лежит на окружности $C_2$. Таким образом, отображение $f$ корректно определено.

Теперь докажем, что отображение $f$ является биекцией.

1. Инъективность (каждой точке из $C_2$ соответствует не более одной точки из $C_1$).
Предположим, что две разные точки $P_1, Q_1 \in C_1$ отображаются в одну и ту же точку на $C_2$. Пусть их радиус-векторы равны $\vec{p_1}$ и $\vec{q_1}$ соответственно. Тогда $f(P_1) = f(Q_1)$, что в векторной форме означает:

$\frac{r_2}{r_1}\vec{p_1} = \frac{r_2}{r_1}\vec{q_1}$

Так как $r_1 \neq 0$ и $r_2 \neq 0$, можно умножить обе части равенства на $\frac{r_1}{r_2}$, получив:

$\vec{p_1} = \vec{q_1}$

Это означает, что точки $P_1$ и $Q_1$ совпадают. Следовательно, разным точкам на $C_1$ соответствуют разные точки на $C_2$. Отображение инъективно.

2. Сюръективность (каждая точка из $C_2$ является образом некоторой точки из $C_1$).
Возьмём произвольную точку $P_2$ на окружности $C_2$. Её радиус-вектор $\vec{v_2}$ имеет длину $|\vec{v_2}| = r_2$. Найдём для неё прообраз — точку $P_1 \in C_1$ с радиус-вектором $\vec{v_1}$ такую, что $f(P_1) = P_2$. Из определения функции имеем $\vec{v_2} = \frac{r_2}{r_1}\vec{v_1}$. Выразим отсюда $\vec{v_1}$:

$\vec{v_1} = \frac{r_1}{r_2}\vec{v_2}$

Проверим, что точка $P_1$ с таким радиус-вектором действительно лежит на окружности $C_1$:

$|\vec{v_1}| = |\frac{r_1}{r_2}\vec{v_2}| = \frac{r_1}{r_2}|\vec{v_2}| = \frac{r_1}{r_2} \cdot r_2 = r_1$

Длина радиус-вектора $\vec{v_1}$ равна $r_1$, значит, точка $P_1$ принадлежит окружности $C_1$. Таким образом, для любой точки из $C_2$ мы нашли соответствующую ей точку из $C_1$. Отображение сюръективно.

Поскольку отображение $f$ является одновременно инъективным и сюръективным, оно является биекцией. Наличие биекции между множествами точек $C_1$ и $C_2$ означает, что эти множества равномощны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Множества точек любых двух концентрических окружностей равномощны, так как между ними можно установить биективное (взаимно-однозначное) соответствие. Такое соответствие задается радиальным проецированием из общего центра: каждой точке на одной окружности ставится в соответствие точка на другой окружности, лежащая на том же луче, проведенном из центра. Поскольку данное отображение является биекцией, множества точек имеют одинаковую мощность.