Номер 4.15, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.15, страница 28.

Условие.

4.15. На плоскости задано некоторое множество квадратов, сторона каждого из которых равна 10, причём квадраты не пересекаются. Докажите, что это множество конечно или счётно.

Решение.

Пусть $S$ — данное множество квадратов. Нам нужно доказать, что множество $S$ является конечным или счётным.

Для доказательства мы построим инъективное отображение из множества квадратов $S$ в некоторое счётное множество. В качестве такого счётного множества мы выберем множество точек на плоскости, обе координаты которых рациональны. Обозначим это множество как $\mathbb{Q}^2 = \{(x, y) \mid x \in \mathbb{Q}, y \in \mathbb{Q}\}$. Множество $\mathbb{Q}^2$ является счётным, так как оно представляет собой декартово произведение двух счётных множеств $\mathbb{Q}$.

Рассмотрим произвольный квадрат $K$ из множества $S$. По условию, сторона квадрата равна 10, следовательно, его площадь равна $10 \times 10 = 100$. Важно, что площадь положительна, а значит, внутренность каждого квадрата представляет собой непустое открытое множество.

Множество точек с рациональными координатами $\mathbb{Q}^2$ является плотным в плоскости $\mathbb{R}^2$. Это означает, что в любой, сколь угодно малой окрестности любой точки на плоскости, найдется точка из $\mathbb{Q}^2$. Следовательно, в любой области с ненулевой площадью (в частности, внутри любого квадрата $K \in S$) обязательно найдется хотя бы одна точка с рациональными координатами.

Теперь сопоставим каждому квадрату $K \in S$ одну из таких точек. Для каждого квадрата $K$ из множества $S$ выберем одну произвольную точку $p_K \in \mathbb{Q}^2$, которая лежит внутри этого квадрата. Такая точка существует, как мы показали выше. Это задает отображение $f: S \to \mathbb{Q}^2$, где $f(K) = p_K$.

Докажем, что это отображение инъективно. То есть, разным квадратам будут сопоставлены разные точки.

Пусть $K_1$ и $K_2$ — два различных квадрата из множества $S$ ($K_1 \neq K_2$). По условию задачи, квадраты не пересекаются. Это означает, что их внутренние области не имеют общих точек, то есть $\text{int}(K_1) \cap \text{int}(K_2) = \emptyset$.

По нашему построению, мы выбрали точку $p_{K_1} = f(K_1)$ так, что она лежит внутри $K_1$ ($p_{K_1} \in \text{int}(K_1)$), и точку $p_{K_2} = f(K_2)$ так, что она лежит внутри $K_2$ ($p_{K_2} \in \text{int}(K_2)$).

Поскольку $p_{K_1}$ находится во внутренней области $K_1$, а внутренние области $K_1$ и $K_2$ не пересекаются, точка $p_{K_1}$ не может находиться во внутренней области $K_2$. Следовательно, $p_{K_1} \neq p_{K_2}$.

Таким образом, мы построили инъективное отображение из множества квадратов $S$ в счётное множество $\mathbb{Q}^2$. Это означает, что мощность множества $S$ не превышает мощности множества $\mathbb{Q}^2$. Поскольку множество $\mathbb{Q}^2$ счётно, множество $S$ может быть либо конечным, либо счётным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.