Вопросы?, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - страница 36.

Условие.

1. Какое утверждение называют высказыванием?

2. Перечислите операции над высказываниями.

3. Какие высказывания называют логически эквивалентными?

4. Какие логические выражения называют тавтологиями?

Решение.

1. Какое утверждение называют высказыванием?

Высказыванием (или суждением) в логике называют повествовательное предложение (утверждение), относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Важно, что высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Примеры высказываний:

• "Земля вращается вокруг Солнца." (истинное высказывание)
• "5 + 7 = 10." (ложное высказывание)

Примеры предложений, не являющихся высказываниями:

• "Который час?" (вопросительное предложение)
• "Откройте учебник." (побудительное предложение)
• "$x > 5$." (утверждение с переменной, его истинность зависит от значения $x$, это предикат)

Ответ: Высказывание — это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

2. Перечислите операции над высказываниями.

Основными логическими операциями над высказываниями являются:

• Отрицание (инверсия) — логическое "НЕ". Обозначается как $¬A$ или $\overline{A}$. Новое высказывание истинно, когда исходное ложно, и наоборот.
• Конъюнкция — логическое "И" (логическое умножение). Обозначается как $A \land B$ или $A \& B$. Высказывание истинно только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
• Дизъюнкция — логическое "ИЛИ" (логическое сложение). Обозначается как $A \lor B$. Высказывание ложно только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
• Импликация — логическое следование ("если..., то..."). Обозначается как $A \to B$. Высказывание ложно только в одном случае: когда из истинной предпосылки ($A$) следует ложный вывод ($B$).
• Эквиваленция (равнозначность) — ("тогда и только тогда, когда..."). Обозначается как $A \leftrightarrow B$ или $A \equiv B$. Высказывание истинно, когда оба исходных высказывания имеют одинаковую истинность (оба истинны или оба ложны).
• Строгая дизъюнкция (исключающее "ИЛИ") — ("либо..., либо..."). Обозначается как $A \oplus B$. Высказывание истинно, когда истинно ровно одно из исходных высказываний.

Ответ: Основные операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и строгая дизъюнкция.

3. Какие высказывания называют логически эквивалентными?

Два сложных высказывания (логические выражения) называют логически эквивалентными (или равносильными), если они принимают одинаковые значения истинности при любых наборах значений входящих в них простых высказываний.

Это означает, что их таблицы истинности полностью совпадают в итоговых столбцах. Эквивалентность двух выражений $A$ и $B$ обозначается как $A \equiv B$.

Например, высказывание "неверно, что идет дождь и светит солнце" ($¬(A \land B)$) эквивалентно высказыванию "дождь не идет или солнце не светит" ($¬A \lor ¬B$). Это один из законов де Моргана.

Ответ: Логически эквивалентными называют высказывания, которые всегда принимают одинаковые значения истинности (их таблицы истинности совпадают).

4. Какие логические выражения называют тавтологиями?

Тавтологией (или тождественно истинным выражением) называют такое сложное логическое выражение, которое является истинным при любых значениях истинности входящих в него простых высказываний.

В таблице истинности для тавтологии в столбце, соответствующем всему выражению, будут стоять только значения "истина" (1).

Классическим примером тавтологии является закон исключённого третьего: $A \lor ¬A$. Это выражение всегда истинно, так как если высказывание $A$ истинно, то и вся дизъюнкция истинна; если же $A$ ложно, то его отрицание $¬A$ будет истинным, и вся дизъюнкция снова будет истинна.

Ответ: Тавтологиями называют логические выражения, которые всегда истинны, независимо от истинности составляющих их простых высказываний.