Номер 4.13, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.13, страница 28.

Условие.

4.13. Покажите, что множества точек любых двух отрезков равномощны.

Решение.

Чтобы показать, что множества точек любых двух отрезков равномощны, необходимо доказать существование биекции (взаимно-однозначного соответствия) между этими множествами.

Рассмотрим два произвольных отрезка. Обозначим первый отрезок как $A = [a, b]$, где $a < b$, а второй как $B = [c, d]$, где $c < d$. Нам нужно построить функцию $f: [a, b] \rightarrow [c, d]$, которая является биективной. Самый простой способ установить такое соответствие — использовать линейное преобразование, которое "растягивает" или "сжимает" и "сдвигает" один отрезок так, чтобы он в точности совпал с другим.

Построим такую функцию $f(x)$. Любая точка $x \in [a, b]$ может быть представлена через её относительное положение на отрезке. Это относительное положение, или доля $t$, вычисляется как $t = \frac{x - a}{b - a}$. Когда $x = a$, $t = 0$; когда $x = b$, $t = 1$. Таким образом, каждой точке $x \in [a, b]$ соответствует уникальное значение $t \in [0, 1]$.

Теперь мы можем найти соответствующую точку $y$ на отрезке $[c, d]$, которая имеет такое же относительное положение $t$. Эта точка вычисляется как $y = c + t \cdot (d - c)$. Подставив выражение для $t$, мы получим искомую функцию $f(x)$, которая отображает точку $x$ из отрезка $[a, b]$ в точку $y = f(x)$ из отрезка $[c, d]$: $$ f(x) = c + \frac{x - a}{b - a} (d - c) $$

Теперь докажем, что эта функция является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность). Нужно показать, что если $f(x_1) = f(x_2)$, то $x_1 = x_2$. Пусть $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1, x_2 \in [a, b]$. $$ c + \frac{x_1 - a}{b - a} (d - c) = c + \frac{x_2 - a}{b - a} (d - c) $$ Последовательно упрощая, получаем: $$ \frac{x_1 - a}{b - a} (d - c) = \frac{x_2 - a}{b - a} (d - c) $$ Поскольку $d - c \neq 0$ и $b - a \neq 0$, мы можем сократить общие множители: $$ x_1 - a = x_2 - a $$ $$ x_1 = x_2 $$ Следовательно, функция $f(x)$ является инъективной.

2. Сюръективность (отображение "на"). Нужно показать, что для любой точки $y \in [c, d]$ существует точка $x \in [a, b]$ такая, что $f(x) = y$. Возьмем произвольное $y$ из отрезка $[c, d]$ и решим уравнение $y = f(x)$ относительно $x$: $$ y = c + \frac{x - a}{b - a} (d - c) \implies x = a + (b - a) \frac{y - c}{d - c} $$ Теперь проверим, что если $y \in [c, d]$, то полученное значение $x$ принадлежит отрезку $[a, b]$. Из $c \le y \le d$ следует $0 \le y - c \le d - c$, и, разделив на $d-c > 0$, получаем $0 \le \frac{y - c}{d - c} \le 1$. Умножив на $b-a > 0$ и прибавив $a$, имеем: $$ a \le a + (b - a) \frac{y - c}{d - c} \le a + (b - a) $$ $$ a \le x \le b $$ Это означает, что для любого $y \in [c, d]$ мы нашли соответствующий $x \in [a, b]$. Следовательно, функция $f(x)$ является сюръективной.

Поскольку мы построили функцию $f: [a, b] \rightarrow [c, d]$, которая является одновременно инъективной и сюръективной (т.е. биективной), это доказывает, что между множествами точек отрезков $[a, b]$ и $[c, d]$ существует взаимно-однозначное соответствие. Таким образом, множества точек любых двух отрезков равномощны.

Ответ: Множества точек любых двух отрезков равномощны, так как между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию). Примером такой биекции для отрезков $[a, b]$ и $[c, d]$ (где $a<b, c<d$) является линейная функция $f(x) = c + \frac{d-c}{b-a}(x-a)$.