Номер 4.18, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 4. Равномощные множества. Счётные множества - номер 4.18, страница 29.

Условие.

4.18. Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях x; укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении x:

1) $x^2 - 10x + 27$;

2) $9x^2 + 12x + 7$;

3) $2x^2 - x + 1$.

Решение.

1) $x^2 - 10x + 27$

Для доказательства и нахождения наименьшего значения выделим полный квадрат в данном выражении. Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 10x + 27 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 + 27 = (x^2 - 10x + 25) + 2 = (x-5)^2 + 2$.

Выражение $(x-5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, $(x-5)^2 + 2 \ge 0 + 2$, то есть $(x-5)^2 + 2 \ge 2$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно 2, а $2 > 0$, то выражение принимает только положительные значения при всех значениях $x$, что и требовалось доказать.

Наименьшее значение выражение принимает тогда, когда слагаемое $(x-5)^2$ равно своему наименьшему значению, то есть нулю. Это происходит при $x - 5 = 0$, то есть при $x = 5$. При этом наименьшее значение всего выражения равно $0 + 2 = 2$.

Ответ: наименьшее значение равно 2 при $x = 5$.

2) $9x^2 + 12x + 7$

Выделим полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Заметим, что $9x^2 = (3x)^2$ и $12x = 2 \cdot (3x) \cdot 2$.

$9x^2 + 12x + 7 = (9x^2 + 12x + 4) + 3 = (3x+2)^2 + 3$.

Так как $(3x+2)^2 \ge 0$ для любого значения $x$, то $(3x+2)^2 + 3 \ge 0 + 3$, то есть $(3x+2)^2 + 3 \ge 3$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно 3, а $3 > 0$, то выражение всегда принимает положительные значения.

Наименьшее значение достигается при $(3x+2)^2 = 0$, то есть при $3x + 2 = 0$, откуда $x = -2/3$. Наименьшее значение выражения равно $0 + 3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение равно 3 при $x = -2/3$.

3) $2x^2 - x + 1$

Выделим полный квадрат. Сначала вынесем коэффициент 2 за скобки.

$2x^2 - x + 1 = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 1 = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) + 1$

$= 2((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) + 1 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - 2 \cdot \frac{1}{16} + 1 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 1 = 2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}$.

Так как $(x - \frac{1}{4})^2 \ge 0$, то и $2(x - \frac{1}{4})^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, $2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8} \ge 0 + \frac{7}{8}$, то есть $2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8} \ge \frac{7}{8}$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно $7/8$, а $7/8 > 0$, то выражение принимает только положительные значения.

Наименьшее значение достигается, когда $(x - \frac{1}{4})^2 = 0$, то есть при $x - \frac{1}{4} = 0$, откуда $x = 1/4$. Наименьшее значение выражения равно $0 + 7/8 = 7/8$.

Ответ: наименьшее значение равно $7/8$ при $x = 1/4$.