Номер 5.6, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.6, страница 37.

Условие.

5.6. Электрическая цепь между точками $M$ и $N$ составлена по схеме, изображённой на рисунке 5.3. Рассмотрим высказывания:

$A = \{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\}$;

$B = \{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}$.

Определите, является ли цепь замкнутой, если известно, что:

1) $A \wedge B$ — истинное высказывание;

2) $A \wedge B$ — ложное высказывание;

3) $A \vee B$ — ложное высказывание;

4) $\overline{A} \wedge B$ — истинное высказывание;

5) $\overline{A \vee B}$ — ложное высказывание.

Рис. 5.3

Рис. 5.4

Решение.

Электрическая цепь, изображенная на рисунке 5.3, представляет собой параллельное соединение двух элементов: m и n.

Введем логические высказывания:
$A$ = {элемент m цепи функционирует нормально}
$B$ = {элемент n цепи функционирует нормально}

Для параллельного соединения цепь между точками M и N будет замкнутой (т.е. будет проводить ток) тогда и только тогда, когда хотя бы один из элементов, m или n, функционирует нормально. В терминах логических высказываний это означает, что цепь замкнута, если высказывание $A \lor B$ (А ИЛИ В) является истинным.

Рассмотрим каждый случай:

1) $A \land B$ — истинное высказывание
Конъюнкция (логическое "И") $A \land B$ истинна только в том случае, если оба высказывания $A$ и $B$ истинны.
Это означает, что и элемент m, и элемент n функционируют нормально.
Проверим условие замкнутости цепи, то есть истинность дизъюнкции $A \lor B$. Поскольку $A$ истинно и $B$ истинно, то $A \lor B$ также истинно.
Следовательно, цепь замкнута.
Ответ: цепь является замкнутой.

2) $A \land B$ — ложное высказывание
Конъюнкция $A \land B$ ложна, если хотя бы одно из высказываний ($A$ или $B$) ложно. Это соответствует трем возможным ситуациям:
а) $A$ - истинно, $B$ - ложно (работает только элемент m). В этом случае $A \lor B$ истинно, и цепь замкнута.
б) $A$ - ложно, $B$ - истинно (работает только элемент n). В этом случае $A \lor B$ истинно, и цепь замкнута.
в) $A$ - ложно, $B$ - ложно (не работает ни один элемент). В этом случае $A \lor B$ ложно, и цепь разомкнута.
Поскольку из данного условия могут следовать как замкнутость, так и разомкнутость цепи, дать однозначный ответ невозможно.
Ответ: определить невозможно.

3) $A \lor B$ — ложное высказывание
Дизъюнкция (логическое "ИЛИ") $A \lor B$ ложна только в том случае, если оба высказывания $A$ и $B$ ложны.
Это означает, что ни элемент m, ни элемент n не функционируют.
Поскольку условие замкнутости цепи ($A \lor B$ должно быть истинно) не выполняется, цепь разомкнута.
Ответ: цепь не является замкнутой (разомкнута).

4) $\overline{A} \land B$ — истинное высказывание
Высказывание $\overline{A}$ является отрицанием высказывания $A$, то есть $\overline{A}$ = {элемент m не функционирует нормально}.
Конъюнкция $\overline{A} \land B$ истинна, если $\overline{A}$ истинно и $B$ истинно.
Из $\overline{A}$ = истинно следует, что $A$ = ложно.
Из $B$ = истинно следует, что элемент n работает.
Итак, элемент m не работает, а элемент n работает.
Проверим условие замкнутости цепи $A \lor B$. Так как $B$ истинно, дизъюнкция $A \lor B$ будет истинной.
Следовательно, цепь замкнута.
Ответ: цепь является замкнутой.

5) $\overline{A} \lor B$ — ложное высказывание
Дизъюнкция $\overline{A} \lor B$ ложна только в том случае, если оба составляющих ее высказывания ($\overline{A}$ и $B$) ложны.
Из $\overline{A}$ = ложно следует, что $A$ = истинно (элемент m работает).
Из $B$ = ложно следует, что элемент n не работает.
Итак, элемент m работает, а элемент n не работает.
Проверим условие замкнутости цепи $A \lor B$. Так как $A$ истинно, дизъюнкция $A \lor B$ будет истинной.
Следовательно, цепь замкнута.
Ответ: цепь является замкнутой.