Номер 5.10, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Множества и операции над ними. Параграф 5. Элементы математической логики - номер 5.10, страница 38.

Условие.

5.10. Через операции конъюнкции и отрицания выразите операцию:

1) дизъюнкции;

2) импликации.

Решение.

1) дизъюнкции;

Для выражения дизъюнкции (логического «ИЛИ») через конъюнкцию (логическое «И») и отрицание (логическое «НЕ») воспользуемся одним из законов де Моргана. Закон утверждает, что отрицание дизъюнкции двух высказываний эквивалентно конъюнкции их отрицаний:

$\neg(A \lor B) = \neg A \land \neg B$

Чтобы получить выражение для $A \lor B$, мы можем дважды применить операцию отрицания к левой части, так как двойное отрицание не меняет истинностного значения выражения ($\neg(\neg P) = P$). Применим отрицание к обеим частям тождества:

$\neg(\neg(A \lor B)) = \neg(\neg A \land \neg B)$

Учитывая закон двойного отрицания для левой части, получаем искомую формулу:

$A \lor B = \neg(\neg A \land \neg B)$

Таким образом, дизъюнкция $A \lor B$ выражена только через операции конъюнкции и отрицания.

Ответ: $A \lor B = \neg(\neg A \land \neg B)$

2) импликации.

Операция импликации (логическое следование) $A \to B$ по определению эквивалентна выражению «не А или B»:

$A \to B = \neg A \lor B$

Теперь необходимо выразить операцию дизъюнкции ($\lor$) в полученном выражении через конъюнкцию и отрицание. Для этого используем результат из предыдущего пункта: $P \lor Q = \neg(\neg P \land \neg Q)$.

Подставим в эту формулу $P = \neg A$ и $Q = B$:

$\neg A \lor B = \neg(\neg(\neg A) \land \neg B)$

Применив закон двойного отрицания к выражению $\neg(\neg A)$, мы получим $A$. Таким образом, формула упрощается:

$\neg(A \land \neg B)$

Следовательно, импликация $A \to B$ выражается через конъюнкцию и отрицание следующим образом:

$A \to B = \neg(A \land \neg B)$

Ответ: $A \to B = \neg(A \land \neg B)$