Вопросы?, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - страница 50.

Условие.

1. Что называют областью определения уравнения $f(x) = g(x)$?

2. Какие два уравнения называют равносильными?

3. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, равносильное данному?

4. Какое уравнение называют следствием данного?

5. Какие корни называют посторонними корнями данного уравнения?

6. Опишите, как решают уравнение вида $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$, где $f(x)$ и $g(x)$ — многочлены.

7. Какое уравнение называют рациональным?

Решение.

1. Что называют областью определения уравнения $f(x) = g(x)$?
Областью определения уравнения $f(x) = g(x)$ (или областью допустимых значений переменной, ОДЗ) называют множество всех значений переменной $x$, при которых одновременно имеют смысл (определены) левая и правая части уравнения. То есть, это пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.
Ответ: Множество значений переменной, при которых определены обе части уравнения.

2. Какие два уравнения называют равносильными?
Два уравнения с одной переменной называют равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Другими словами, каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Два уравнения также считаются равносильными, если оба не имеют корней.
Ответ: Уравнения, имеющие одинаковые множества корней (или не имеющие корней вовсе).

3. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, равносильное данному?
Уравнение, равносильное данному, можно получить с помощью следующих преобразований:

• Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, которое на области определения уравнения не обращается в ноль и не меняет знак.
• Применение тождественных преобразований (например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) к левой или правой части уравнения, не изменяя при этом область определения уравнения.

Ответ: С помощью переноса слагаемых, умножения/деления на ненулевое число или выражение, которое не обращается в ноль на ОДЗ, и тождественных преобразований.

4. Какое уравнение называют следствием данного?
Уравнение (2) называют следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Это означает, что каждый корень первого уравнения является также и корнем второго. При этом второе уравнение может иметь дополнительные корни, которых нет у первого.
Ответ: Уравнение, которому удовлетворяют все корни исходного уравнения.

5. Какие корни называют посторонними корнями данного уравнения?
Посторонними корнями для исходного уравнения называют такие корни, которые появляются в процессе решения при переходе к уравнению-следствию, но не являются корнями исходного уравнения. Чаще всего они возникают при неравносильных преобразованиях, например, при возведении обеих частей уравнения в четную степень или при избавлении от знаменателя. Такие корни необходимо отсеивать проверкой.
Ответ: Корни, полученные в результате неравносильных преобразований, которые не являются корнями исходного уравнения.

6. Опишите, как решают уравнение вида $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$, где $f(x)$ и $g(x)$ - многочлены.
Уравнение вида $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Алгоритм решения следующий:

1. Найти корни уравнения $f(x) = 0$.
2. Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть решить уравнение $g(x) = 0$.
3. Исключить из корней уравнения $f(x) = 0$ те значения, которые совпадают с корнями уравнения $g(x) = 0$.
4. Оставшиеся значения и будут корнями исходного уравнения.

Таким образом, решение сводится к системе: $$ \begin{cases} f(x) = 0, \\ g(x) \neq 0. \end{cases} $$ Ответ: Уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю ($f(x) = 0$), а знаменатель не равен нулю ($g(x) \neq 0$).

7. Какое уравнение называют рациональным?
Рациональным уравнением называют уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения (то есть выражения, составленные из чисел и переменной с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень). Любое рациональное уравнение можно привести к виду $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.
Ответ: Уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями.