Номер 6.5, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.5, страница 51.

Условие.

6.5. Какое из данных уравнений является следствием другого:

1) $x^2 = x$ и $x = 1$;

2) $\frac{x}{x} = 1$ и $0x = 0$;

3) $|x| = 1$ и $x^3 = 1$;

4) $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$ и $x^2 = 36$;

5) $x^2 = 4$ и $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$;

6) $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$ и $x^2 - 1 = 0?$

Решение.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Это означает, что каждый корень уравнения (1) также является и корнем уравнения (2).

Проанализируем каждую пару уравнений, чтобы определить, какое из них является следствием другого.

1) $x^2 = x$ и $x = 1$

Найдем корни первого уравнения: $x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. Корнями являются $x=0$ и $x=1$. Множество корней этого уравнения: $M_1 = \{0, 1\}$.

Второе уравнение $x=1$ имеет один корень $x=1$. Множество его корней: $M_2 = \{1\}$.

Поскольку множество корней второго уравнения является подмножеством множества корней первого уравнения ($M_2 \subset M_1$), то уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $x=1$.

Ответ: Уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $x=1$.

2) $\frac{x}{x} = 1$ и $0 \cdot x = 0$

Первое уравнение $\frac{x}{x} = 1$ определено для всех $x$, кроме $x=0$. Для любого $x \neq 0$ это равенство является верным. Таким образом, множество решений этого уравнения: $M_1 = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Второе уравнение $0 \cdot x = 0$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество его решений: $M_2 = (-\infty, +\infty)$.

Поскольку $M_1 \subset M_2$, то уравнение $0 \cdot x = 0$ является следствием уравнения $\frac{x}{x}=1$.

Ответ: Уравнение $0 \cdot x=0$ является следствием уравнения $\frac{x}{x}=1$.

3) $|x| = 1$ и $x^3 = 1$

Решим первое уравнение: $|x|=1$. Его корнями являются $x=1$ и $x=-1$. Множество корней: $M_1 = \{-1, 1\}$.

Решим второе уравнение: $x^3=1$. Его единственный действительный корень $x=1$. Множество корней: $M_2 = \{1\}$.

Поскольку $M_2 \subset M_1$, то уравнение $|x|=1$ является следствием уравнения $x^3=1$.

Ответ: Уравнение $|x|=1$ является следствием уравнения $x^3=1$.

4) $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$ и $x^2 = 36$

Для первого уравнения область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$. На этой области уравнение равносильно уравнению $x^2 = 36$, корни которого $x=6$ и $x=-6$. Корень $x=6$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Таким образом, единственным корнем исходного уравнения является $x=-6$. Множество корней: $M_1 = \{-6\}$.

Второе уравнение $x^2=36$ имеет корни $x=6$ и $x=-6$. Множество корней: $M_2 = \{-6, 6\}$.

Поскольку $M_1 \subset M_2$, то уравнение $x^2=36$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$.

Ответ: Уравнение $x^2=36$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$.

5) $x^2 = 4$ и $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$

Первое уравнение $x^2=4$ имеет корни $x=2$ и $x=-2$. Множество корней: $M_1 = \{-2, 2\}$.

Для второго уравнения ОДЗ определяется условием $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению $x^2=4$, корни которого $x=2$ и $x=-2$. Учитывая ОДЗ, корень $x=-2$ является посторонним. Единственным корнем является $x=2$. Множество корней: $M_2 = \{2\}$.

Поскольку $M_2 \subset M_1$, то уравнение $x^2=4$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.

Ответ: Уравнение $x^2=4$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.

6) $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$ и $x^2-1 = 0$

Для первого уравнения ОДЗ определяется условием $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Уравнение равносильно системе: $\begin{cases} x^2-1=0 \\ x \neq -1 \end{cases}$. Уравнение $x^2-1=0$ имеет корни $x=1$ и $x=-1$. Учитывая ОДЗ, корень $x=-1$ является посторонним. Единственным корнем является $x=1$. Множество корней: $M_1 = \{1\}$.

Второе уравнение $x^2-1=0$ имеет корни $x=1$ и $x=-1$. Множество корней: $M_2 = \{1, -1\}$.

Поскольку $M_1 \subset M_2$, то уравнение $x^2-1=0$ является следствием уравнения $\frac{x^2-1}{x+1}=0$.

Ответ: Уравнение $x^2-1=0$ является следствием уравнения $\frac{x^2-1}{x+1}=0$.