Номер 6.11, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.11, страница 52.

Условие.

6.11. Моторная лодка проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 54 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна $18 \text{ км/ч}$.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки. Тогда скорость моторной лодки по течению реки составляет $(18 + x)$ км/ч, а скорость против течения — $(18 - x)$ км/ч. При этом $x < 18$.

Время, затраченное лодкой на путь по течению реки, равно $t_1 = \frac{S}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{8}{18 + x}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь против течения, равно $t_2 = \frac{S}{v_{\text{против теч.}}} = \frac{8}{18 - x}$ часов.

Общее время, потраченное на весь путь, составляет 54 минуты. Необходимо перевести это время в часы для согласованности единиц измерения:

$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч}$.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени в пути. Составим и решим уравнение:

$\frac{8}{18 + x} + \frac{8}{18 - x} = \frac{9}{10}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(18+x)(18-x) = 18^2 - x^2 = 324 - x^2$:

$\frac{8(18 - x) + 8(18 + x)}{(18 + x)(18 - x)} = \frac{9}{10}$

$\frac{144 - 8x + 144 + 8x}{324 - x^2} = \frac{9}{10}$

$\frac{288}{324 - x^2} = \frac{9}{10}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$9 \cdot (324 - x^2) = 288 \cdot 10$

$9(324 - x^2) = 2880$

Разделим обе части уравнения на 9:

$324 - x^2 = \frac{2880}{9}$

$324 - x^2 = 320$

Отсюда найдем $x^2$:

$x^2 = 324 - 320$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.