Номер 6.6, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.6, страница 51.

Условие.

6.6. Какое из данных уравнений является следствием другого:

1) $\frac{x^2}{x} = 1$ и $x^2 = x$;

2) $x^2 + 1 = 1$ и $x(x - 1) = 0$;

3) $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$ и $x^2 = 9$;

4) $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$ и $x^2 = 64$?

Решение.

Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если множество корней уравнения (А) является подмножеством множества корней уравнения (Б). Другими словами, каждый корень уравнения (А) должен быть также и корнем уравнения (Б). Рассмотрим каждую пару уравнений.

1) $\frac{x^2}{x} = 1$ и $x^2 = x$

Найдем множество решений для каждого уравнения.

Первое уравнение: $\frac{x^2}{x} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ne 0$. На ОДЗ мы можем сократить дробь: $x = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ne 0$. Таким образом, множество решений первого уравнения: $S_1 = \{1\}$.

Второе уравнение: $x^2 = x$. Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество решений второго уравнения: $S_2 = \{0, 1\}$.

Сравним множества решений. Поскольку $S_1 \subset S_2$ (каждый корень первого уравнения является корнем второго), уравнение $x^2 = x$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x} = 1$. Обратное неверно, так как $x=0$ является корнем второго уравнения, но не входит в ОДЗ первого.

Ответ: Уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x}=1$.

2) $x^2 + 1 = 1$ и $x(x - 1) = 0$

Найдем множество решений для каждого уравнения.

Первое уравнение: $x^2 + 1 = 1$. Вычтем 1 из обеих частей: $x^2 = 0$. Единственный корень этого уравнения: $x = 0$. Множество решений первого уравнения: $S_1 = \{0\}$.

Второе уравнение: $x(x - 1) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество решений второго уравнения: $S_2 = \{0, 1\}$.

Сравним множества решений. Поскольку $S_1 \subset S_2$, уравнение $x(x - 1) = 0$ является следствием уравнения $x^2 + 1 = 1$. Обратное неверно, так как $x=1$ является корнем второго уравнения, но не является корнем первого.

Ответ: Уравнение $x(x-1)=0$ является следствием уравнения $x^2+1=1$.

3) $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$ и $x^2 = 9$

Найдем множество решений для каждого уравнения.

Первое уравнение: $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$. ОДЗ: $x+3 \ne 0$, то есть $x \ne -3$. На ОДЗ можно вычесть $\frac{1}{x+3}$ из обеих частей уравнения: $x^2 = 9$. Корни уравнения $x^2=9$ - это $x=3$ и $x=-3$. Учитывая ОДЗ ($x \ne -3$), решением исходного уравнения является только $x=3$. Множество решений первого уравнения: $S_1 = \{3\}$.

Второе уравнение: $x^2 = 9$. Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Множество решений второго уравнения: $S_2 = \{3, -3\}$.

Сравним множества решений. Поскольку $S_1 \subset S_2$, уравнение $x^2=9$ является следствием уравнения $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$. Обратное неверно, так как $x=-3$ является корнем второго уравнения, но не входит в ОДЗ первого.

Ответ: Уравнение $x^2=9$ является следствием уравнения $x^2+\frac{1}{x+3}=9+\frac{1}{x+3}$.

4) $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$ и $x^2 = 64$

Найдем множество решений для каждого уравнения.

Первое уравнение: $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$. ОДЗ: $x+8 \ne 0$, то есть $x \ne -8$. На ОДЗ можно умножить обе части на $(x+8)$, чтобы избавиться от знаменателя: $x^2 = 64$. Корни уравнения $x^2=64$ - это $x=8$ и $x=-8$. Учитывая ОДЗ ($x \ne -8$), решением исходного уравнения является только $x=8$. Множество решений первого уравнения: $S_1 = \{8\}$.

Второе уравнение: $x^2 = 64$. Корни этого уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$. Множество решений второго уравнения: $S_2 = \{8, -8\}$.

Сравним множества решений. Поскольку $S_1 \subset S_2$, уравнение $x^2=64$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$. Обратное неверно, так как $x=-8$ является корнем второго уравнения, но не входит в ОДЗ первого.

Ответ: Уравнение $x^2=64$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x+8}=\frac{64}{x+8}$.