Номер 6.12, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.12, страница 52.

Условие.

6.12. Теплоход прошёл 28 км против течения реки и вернулся обратно, потратив на обратный путь на 4 мин меньше. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде). Тогда скорость теплохода против течения реки равна $(x - 1)$ км/ч, а по течению — $(x + 1)$ км/ч.

Время, которое теплоход затратил на путь против течения, составляет $t_1 = \frac{28}{x-1}$ ч.

Время, которое теплоход затратил на обратный путь (по течению), составляет $t_2 = \frac{28}{x+1}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь было потрачено на 4 минуты меньше. Переведем 4 минуты в часы:

$4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15} \text{ ч}.$

Так как время движения против течения больше времени движения по течению, можем составить уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{15}$

$\frac{28}{x-1} - \frac{28}{x+1} = \frac{1}{15}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{28(x+1) - 28(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{15}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{28x + 28 - 28x + 28}{x^2 - 1} = \frac{1}{15}$

$\frac{56}{x^2 - 1} = \frac{1}{15}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 - 1 = 56 \cdot 15$

$x^2 - 1 = 840$

$x^2 = 841$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \sqrt{841} = 29$

$x_2 = -\sqrt{841} = -29$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -29$ не удовлетворяет условию задачи. Скорость теплохода также должна быть больше скорости течения ($29 > 1$), что выполняется.

Следовательно, скорость теплохода в стоячей воде равна 29 км/ч.

Ответ: 29 км/ч.