Номер 6.14, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.14, страница 52.

Условие.

6.14. Чтобы наполнить бассейн через одну трубу, надо в 1,5 раза больше времени, чем через другую. Если же открыть одновременно обе трубы, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу отдельно?

Решение.

Пусть $t_1$ – время (в часах), за которое бассейн наполняет первая труба, а $t_2$ – время, за которое его наполняет вторая труба. Тогда производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 час) первой трубы равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а второй – $p_2 = \frac{1}{t_2}$.

Согласно условию, одной трубе требуется в 1,5 раза больше времени, чем другой. Пусть первая труба работает медленнее, тогда мы можем записать первое уравнение:
$t_1 = 1,5 \cdot t_2$

Когда обе трубы открыты, их общая производительность равна сумме их производительностей: $p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. По условию, вместе они наполняют бассейн за 6 часов, следовательно, их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Отсюда получаем второе уравнение:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:
$\frac{1}{1,5 \cdot t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $1,5 \cdot t_2$:
$\frac{1}{1,5 \cdot t_2} + \frac{1,5}{1,5 \cdot t_2} = \frac{1}{6}$
$\frac{1 + 1,5}{1,5 \cdot t_2} = \frac{1}{6}$
$\frac{2,5}{1,5 \cdot t_2} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции, чтобы найти $t_2$:
$1,5 \cdot t_2 = 2,5 \cdot 6$
$1,5 \cdot t_2 = 15$
$t_2 = \frac{15}{1,5}$
$t_2 = 10$

Таким образом, второй трубе для наполнения бассейна требуется 10 часов.

Теперь найдем время для первой трубы, используя первое уравнение:
$t_1 = 1,5 \cdot t_2 = 1,5 \cdot 10 = 15$

Следовательно, первой трубе требуется 15 часов.

Ответ: через одну трубу бассейн можно наполнить за 15 часов, а через другую – за 10 часов.