Номер 6.20, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 6. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения - номер 6.20, страница 53.

Условие.

6.20. При каких натуральных значениях $a$ корень уравнения является натуральным числом:

1) $(a + 2)x = 5;$

2) $(a + 3)x = 6?$

Решение.

1) В уравнении $(a + 2)x = 5$ по условию задачи переменная $a$ и корень $x$ должны быть натуральными числами. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$

Выразим корень $x$ из уравнения. Поскольку $a$ — натуральное число, $a \ge 1$, то выражение $a+2$ не равно нулю, и мы можем разделить на него обе части уравнения:

$x = \frac{5}{a+2}$

Чтобы $x$ был натуральным числом, знаменатель $(a+2)$ должен быть натуральным делителем числителя, то есть числа 5. Натуральными делителями числа 5 являются 1 и 5.

Рассмотрим эти два случая с учетом того, что $a$ — натуральное число:

• Если $a+2 = 1$, то $a = 1-2 = -1$. Это значение не является натуральным числом, поэтому этот случай не подходит.
• Если $a+2 = 5$, то $a = 5-2 = 3$. Значение $a=3$ является натуральным. При этом значении $a$ корень уравнения $x = \frac{5}{3+2} = \frac{5}{5} = 1$, что также является натуральным числом.

Таким образом, единственное натуральное значение $a$, удовлетворяющее условию, — это 3.

Ответ: 3.

2) В уравнении $(a + 3)x = 6$ по условию задачи переменная $a$ и корень $x$ должны быть натуральными числами.

Выразим корень $x$ из уравнения. Поскольку $a$ — натуральное число, $a \ge 1$, то выражение $a+3$ не равно нулю:

$x = \frac{6}{a+3}$

Чтобы $x$ был натуральным числом, знаменатель $(a+3)$ должен быть натуральным делителем числителя, то есть числа 6. Натуральными делителями числа 6 являются 1, 2, 3 и 6.

Поскольку $a$ — натуральное число, то $a \ge 1$, следовательно $a+3 \ge 1+3=4$.

Из всех натуральных делителей числа 6 (1, 2, 3, 6) только один удовлетворяет условию $a+3 \ge 4$ — это число 6.

Следовательно, мы должны иметь:

$a+3=6$

$a=6-3=3$

Значение $a=3$ является натуральным. При этом значении $a$ корень уравнения $x = \frac{6}{3+3} = \frac{6}{6} = 1$, что также является натуральным числом.

Таким образом, единственное натуральное значение $a$, удовлетворяющее условию, — это 3.

Ответ: 3.