Номер 7.6, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.6, страница 57.

Условие.

7.6. Для каждого значения параметра $b$ решите уравнение:

1) $ \frac{bx+3}{x+2} = b - \frac{1}{x-1}; $

2) $ \frac{bx^2-2}{x^2-4} = b+1+\frac{1-x}{x+2}; $

3) $ \frac{1}{x+1} + \frac{2b-b^2}{(x+1)(x-2b)} = \frac{b}{2b-x}; $

4) $ \frac{b^2}{x+4} - \frac{3b^2+b+39}{(x+4)(3-x)} = \frac{9}{x-3}. $

Решение.

1) Исходное уравнение: $\frac{bx+3}{x+2} = b - \frac{1}{x-1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x+2 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq -2$ и $x \neq 1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x+2)(x-1)$:

$\frac{(bx+3)(x-1)}{(x+2)(x-1)} = \frac{b(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-1)} - \frac{1(x+2)}{(x+2)(x-1)}$

Приравниваем числители, так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ:

$(bx+3)(x-1) = b(x^2+x-2) - (x+2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$bx^2 - bx + 3x - 3 = bx^2 + bx - 2b - x - 2$

Соберем все члены с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$-bx + 3x - bx + x = -2b - 2 + 3$

$x(-2b + 4) = 1 - 2b$

$x(4-2b) = 1-2b$

Это линейное уравнение вида $Ax=B$, где $A=4-2b$ и $B=1-2b$.

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $4-2b \neq 0$, то есть $b \neq 2$. В этом случае уравнение имеет единственный корень:

$x = \frac{1-2b}{4-2b} = \frac{-(2b-1)}{-2(b-2)} = \frac{2b-1}{2(b-2)}$.

Необходимо проверить, при каких значениях $b$ этот корень совпадает с недопустимыми значениями $x=-2$ и $x=1$.

При $x=-2$: $\frac{2b-1}{2(b-2)} = -2 \implies 2b-1 = -4(b-2) \implies 2b-1 = -4b+8 \implies 6b = 9 \implies b = \frac{3}{2}$.

Следовательно, при $b=3/2$ корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, и решений нет.

При $x=1$: $\frac{2b-1}{2(b-2)} = 1 \implies 2b-1 = 2(b-2) \implies 2b-1 = 2b-4 \implies -1 = -4$. Это неверное равенство, значит корень не может быть равен 1.

2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $4-2b=0$, то есть $b=2$.

Подставим $b=2$ в уравнение $x(4-2b) = 1-2b$:

$x \cdot 0 = 1 - 2 \cdot 2 \implies 0 = -3$. Это неверное равенство, следовательно, при $b=2$ решений нет.

Ответ: если $b=2$ или $b=3/2$, то решений нет; если $b \neq 2$ и $b \neq 3/2$, то $x = \frac{2b-1}{2(b-2)}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{bx^2-2}{x^2-4} = b+1 + \frac{1-x}{x+2}$.

ОДЗ: $x^2-4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $x^2-4 = (x-2)(x+2)$:

$\frac{bx^2-2}{x^2-4} - \frac{(b+1)(x^2-4)}{x^2-4} - \frac{(1-x)(x-2)}{x^2-4} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$bx^2-2 - (b+1)(x^2-4) - (1-x)(x-2) = 0$

$bx^2-2 - (bx^2-4b+x^2-4) - (x-2-x^2+2x) = 0$

$bx^2-2 - bx^2+4b-x^2+4 + x^2-3x+2 = 0$

Сокращаем подобные члены:

$-3x + 4b + 4 = 0$

$3x = 4(b+1)$

$x = \frac{4(b+1)}{3}$.

Проверим, при каких значениях $b$ найденный корень совпадает с недопустимыми значениями $x=\pm2$.

При $x=2$: $\frac{4(b+1)}{3} = 2 \implies 4(b+1) = 6 \implies b+1 = \frac{3}{2} \implies b = \frac{1}{2}$.

При $b=1/2$ корень $x=2$ не входит в ОДЗ, значит, решений нет.

При $x=-2$: $\frac{4(b+1)}{3} = -2 \implies 4(b+1) = -6 \implies b+1 = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{5}{2}$.

При $b=-5/2$ корень $x=-2$ не входит в ОДЗ, значит, решений нет.

Ответ: если $b=1/2$ или $b=-5/2$, то решений нет; если $b \neq 1/2$ и $b \neq -5/2$, то $x = \frac{4(b+1)}{3}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{1}{x+1} + \frac{2b-b^2}{(x+1)(x-2b)} = \frac{b}{2b-x}$.

ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $x-2b \neq 0 \implies x \neq 2b$.

Перепишем уравнение, изменив знак в знаменателе последней дроби:

$\frac{1}{x+1} + \frac{2b-b^2}{(x+1)(x-2b)} = \frac{-b}{x-2b}$

Приведем к общему знаменателю $(x+1)(x-2b)$:

$\frac{x-2b}{(x+1)(x-2b)} + \frac{2b-b^2}{(x+1)(x-2b)} + \frac{b(x+1)}{(x+1)(x-2b)} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$x-2b + 2b-b^2 + b(x+1) = 0$

$x - b^2 + bx + b = 0$

$x(1+b) = b^2 - b = b(b-1)$

Это линейное уравнение вида $Ax=B$, где $A=1+b$ и $B=b(b-1)$.

1. Если $1+b \neq 0$, то есть $b \neq -1$, то $x = \frac{b(b-1)}{b+1}$.

Проверим, когда корень совпадает с недопустимыми значениями.

При $x=-1$: $\frac{b(b-1)}{b+1} = -1 \implies b^2-b = -b-1 \implies b^2 = -1$. Нет действительных решений для $b$.

При $x=2b$: $\frac{b(b-1)}{b+1} = 2b$.

Если $b=0$, то ОДЗ: $x \neq -1, x \neq 0$. Решение $x = \frac{0(-1)}{1} = 0$. Так как $x \neq 0$, при $b=0$ решений нет.

Если $b \neq 0$, делим на $b$: $\frac{b-1}{b+1} = 2 \implies b-1 = 2(b+1) \implies b-1 = 2b+2 \implies -b=3 \implies b=-3$.

При $b=-3$ корень $x=-6$ совпадает с $2b$, поэтому решений нет.

2. Если $1+b = 0$, то есть $b = -1$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = (-1)(-1-1) \implies 0=2$. Это неверно, решений нет.

Ответ: если $b \in \{-3, -1, 0\}$, то решений нет; если $b \notin \{-3, -1, 0\}$, то $x = \frac{b(b-1)}{b+1}$.

4) Исходное уравнение: $\frac{b^2}{x+4} - \frac{3b^2+b+39}{(x+4)(3-x)} = \frac{9}{x-3}$.

ОДЗ: $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$ и $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Изменим знак в знаменателе второй дроби: $\frac{b^2}{x+4} + \frac{3b^2+b+39}{(x+4)(x-3)} = \frac{9}{x-3}$.

Приведем к общему знаменателю $(x+4)(x-3)$:

$\frac{b^2(x-3)}{(x+4)(x-3)} + \frac{3b^2+b+39}{(x+4)(x-3)} - \frac{9(x+4)}{(x+4)(x-3)} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$b^2(x-3) + (3b^2+b+39) - 9(x+4) = 0$

$b^2x - 3b^2 + 3b^2 + b + 39 - 9x - 36 = 0$

$x(b^2-9) + (b+3) = 0$

$x(b-3)(b+3) + (b+3) = 0$

Рассмотрим различные значения $b$.

1. Если $b=-3$. Уравнение принимает вид $x(0)(0) + 0 = 0 \implies 0=0$. Это верное равенство для любого $x$ из ОДЗ. Значит, $x$ - любое число, кроме $-4$ и $3$.

2. Если $b=3$. Уравнение принимает вид $x(0)(6) + 6 = 0 \implies 6=0$. Это неверно, решений нет.

3. Если $b \neq -3$ и $b \neq 3$. Можем разделить уравнение на $(b+3)$:

$x(b-3) + 1 = 0 \implies x(b-3) = -1 \implies x = \frac{-1}{b-3} = \frac{1}{3-b}$.

Проверим, когда корень совпадает с недопустимыми значениями.

При $x=3$: $\frac{1}{3-b} = 3 \implies 1=9-3b \implies 3b=8 \implies b=8/3$. При $b=8/3$ решений нет.

При $x=-4$: $\frac{1}{3-b} = -4 \implies 1=-12+4b \implies 4b=13 \implies b=13/4$. При $b=13/4$ решений нет.

Ответ: если $b=-3$, то $x$ — любое действительное число, кроме $x=-4$ и $x=3$; если $b \in \{3, 8/3, 13/4\}$, то решений нет; если $b \notin \{-3, 3, 8/3, 13/4\}$, то $x = \frac{1}{3-b}$.