Номер 7.11, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 7. Рациональные уравнения с параметрами - номер 7.11, страница 58.

Условие.

7.11. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} 4x - 2, & \text{если } x \le 2, \\ 3, & \text{если } x > 2; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x \ne -1, \\ 1, & \text{если } x = -1. \end{cases}$

Решение.

1)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

Первая часть графика — это график функции $y = 4x - 2$ на промежутке $x \le 2$.
Это линейная функция, её график — прямая. Для построения луча, который является частью этой прямой, найдём координаты двух точек, удовлетворяющих условию $x \le 2$.
Найдём значение на границе промежутка: если $x = 2$, то $y = 4 \cdot 2 - 2 = 6$. Координаты точки — $(2, 6)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 2$), эта точка принадлежит графику.
Возьмём ещё одну точку, например, $x = 0$. Тогда $y = 4 \cdot 0 - 2 = -2$. Координаты точки — $(0, -2)$.
Таким образом, строим луч, выходящий из точки $(2, 6)$ и проходящий через точку $(0, -2)$.

Вторая часть графика — это график функции $y = 3$ на промежутке $x > 2$.
Это постоянная функция, её график — горизонтальный луч.
На границе, в точке $x=2$, значение функции было бы 3, но так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, 3)$ не принадлежит графику. На графике она изображается как выколотая (пустой кружок).
Таким образом, строим горизонтальный луч, начинающийся в выколотой точке $(2, 3)$ и идущий вправо параллельно оси абсцисс.

Итоговый график функции является объединением этих двух лучей.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча, являющегося частью прямой $y=4x-2$, с началом в точке $(2, 6)$ (точка включена), и луча, являющегося частью прямой $y=3$, начинающегося в выколотой точке $(2, 3)$ и направленного вправо.

2)

Функция определена для всех действительных чисел. Её значение постоянно и равно $-1$ для всех $x$, кроме $x = -1$. В точке $x = -1$ значение функции равно $1$.

Для построения графика сначала рассмотрим функцию $y = -1$ при условии $x \neq -1$.
Графиком является горизонтальная прямая $y = -1$.
Условие $x \neq -1$ означает, что точка на этой прямой с абсциссой $-1$, то есть точка с координатами $(-1, -1)$, не принадлежит графику. Эту точку следует отметить как выколотую (пустой кружок).

Теперь рассмотрим условие $y=1$ при $x = -1$.
Это задаёт одну-единственную точку на координатной плоскости с координатами $(-1, 1)$.

Объединяя обе части, получаем искомый график.

Ответ: График функции представляет собой горизонтальную прямую $y = -1$ с выколотой точкой $(-1, -1)$ и отдельную точку с координатами $(-1, 1)$.