Номер 8.1, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.1, страница 63.

Условие.

8.1. Могут ли одновременно выполняться неравенства:

1) $a > b$ и $a < b$;

2) $a \ge b$ и $a \le b$?

Решение.

1) $a > b$ и $a < b$

Рассмотрим два строгих неравенства: $a > b$ и $a < b$.
Неравенство $a > b$ означает, что число $a$ строго больше числа $b$. На числовой оси точка, соответствующая числу $a$, находится правее точки, соответствующей числу $b$.
Неравенство $a < b$ означает, что число $a$ строго меньше числа $b$. На числовой оси точка, соответствующая числу $a$, находится левее точки, соответствующей числу $b$.
Одно и то же число $a$ не может одновременно находиться и правее, и левее числа $b$. Согласно свойству упорядоченности действительных чисел (закону трихотомии), для любых двух чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трех соотношений: $a > b$, $a < b$ или $a = b$.
Следовательно, неравенства $a > b$ и $a < b$ являются взаимоисключающими и не могут выполняться одновременно.

Ответ: нет, не могут.

2) $a \ge b$ и $a \le b$

Рассмотрим два нестрогих неравенства: $a \ge b$ и $a \le b$.
Неравенство $a \ge b$ (читается как "$a$ больше или равно $b$") означает, что выполняется хотя бы одно из двух условий: $a > b$ или $a = b$.
Неравенство $a \le b$ (читается как "$a$ меньше или равно $b$") означает, что выполняется хотя бы одно из двух условий: $a < b$ или $a = b$.
Чтобы оба неравенства выполнялись одновременно, необходимо найти условие, которое удовлетворяет и первому, и второму неравенству. Это соответствует решению системы неравенств:$\begin{cases} a \ge b \\a \le b \end{cases}$
Из первого неравенства ($a \ge b$) следует, что $a$ не может быть меньше $b$.
Из второго неравенства ($a \le b$) следует, что $a$ не может быть больше $b$.
Единственная возможность, которая не противоречит обоим условиям, — это когда $a$ не больше и не меньше $b$, то есть когда $a$ равно $b$.
Если $a = b$, то оба неравенства обращаются в верные равенства: $a \ge a$ (верно) и $a \le a$ (верно).
Например, при $a=5$ и $b=5$, имеем $5 \ge 5$ (верно) и $5 \le 5$ (верно).

Ответ: да, могут, если $a = b$.