Номер 8.2, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.2, страница 63.

Условие.

8.2. Верно ли утверждение:

1) если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$;

2) если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$;

3) если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$;

4) если $\frac{a}{b} > 1$ и $b > 0$, то $a > b$?

Решение.

1) если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$

Утверждение неверно. Это свойство выполняется только в том случае, если $b > 0$. Если же $b$ является отрицательным числом, то при делении на него знак неравенства должен измениться на противоположный. Чтобы доказать неверность утверждения, достаточно привести один контрпример.

Пусть $a = -2$, а $b = -3$.

Условие $a > b$ выполняется, так как $-2 > -3$.

Теперь проверим следствие: $\frac{a}{b} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.

Неравенство $\frac{2}{3} > 1$ является ложным. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

2) если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$

Утверждение верно.

Дано, что $a > 1$. Из этого следует, что $a$ — положительное число.

Мы можем преобразовать исходное неравенство $a > 1$. Разделим обе части на положительное число $a$. Знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{a}{a} > \frac{1}{a}$

$1 > \frac{1}{a}$

Теперь умножим обе части полученного неравенства на положительное число 2. Знак неравенства снова не изменится:

$2 \cdot 1 > 2 \cdot \frac{1}{a}$

$2 > \frac{2}{a}$, что эквивалентно $\frac{2}{a} < 2$.

Утверждение доказано.

Ответ: Верно.

3) если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$

Утверждение неверно. Условие $a < 1$ включает в себя как положительные числа из интервала $(0, 1)$, так и все отрицательные числа (а также $a=0$, но на ноль делить нельзя).

Если $a$ — отрицательное число (например, $a < 0$), то дробь $\frac{2}{a}$ также будет отрицательной. Любое отрицательное число меньше положительного числа 2. Таким образом, для $a < 0$ неравенство $\frac{2}{a} > 2$ никогда не выполняется.

Приведем контрпример. Пусть $a = -1$.

Условие $a < 1$ выполняется, так как $-1 < 1$.

Проверим следствие: $\frac{2}{a} = \frac{2}{-1} = -2$.

Неравенство $-2 > 2$ является ложным. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) если $\frac{a}{b} > 1$ и $b > 0$, то $a > b$?

Утверждение верно.

Нам даны два условия: $\frac{a}{b} > 1$ и $b > 0$.

Так как $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части неравенства $\frac{a}{b} > 1$ на $b$. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется.

$\frac{a}{b} \cdot b > 1 \cdot b$

$a > b$

Мы получили в точности то, что требовалось доказать.

Ответ: Верно.