Номер 8.3, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.3, страница 63.

Условие.

8.3. Верно ли утверждение:

1) если $a > 1$, то $|a| > 1$;

2) если $a < 2$, то $|a| < 2$;

3) если $a < -3$, то $|a| > 3$;

4) если $-4 < a < 4$, то $|a| < 4$?

Решение.

1) Рассмотрим утверждение: если $a > 1$, то $|a| > 1$.
По определению, модуль положительного числа равен самому числу. Так как по условию $a > 1$, то $a$ является положительным числом. Следовательно, $|a| = a$.
Подставив это в исходное утверждение, получаем: если $a > 1$, то $a > 1$. Это утверждение всегда верно, так как условие и заключение совпадают.
Ответ: верно.

2) Рассмотрим утверждение: если $a < 2$, то $|a| < 2$.
Это утверждение не всегда верно. Для проверки найдем контрпример — такое число $a$, для которого условие $a < 2$ выполняется, а заключение $|a| < 2$ — нет.
Пусть $a = -3$.
Проверяем условие: $-3 < 2$. Это верное неравенство.
Проверяем заключение: $|-3| < 2$. Вычисляем модуль: $|-3| = 3$. Получаем неравенство $3 < 2$, которое является ложным.
Так как мы нашли число ($a = -3$), для которого условие истинно, а заключение ложно, то все утверждение является ложным.
Ответ: неверно.

3) Рассмотрим утверждение: если $a < -3$, то $|a| > 3$.
По условию $a < -3$, следовательно, $a$ — отрицательное число.
По определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, то есть $|a| = -a$.
Возьмем исходное неравенство $a < -3$ и умножим обе его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \cdot (-1) > -3 \cdot (-1)$
$-a > 3$
Так как для $a < -3$ справедливо $|a| = -a$, мы можем заменить $-a$ на $|a|$:
$|a| > 3$
Таким образом, из условия $a < -3$ следует заключение $|a| > 3$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

4) Рассмотрим утверждение: если $-4 < a < 4$, то $|a| < 4$.
Двойное неравенство $-4 < a < 4$ означает, что число $a$ находится на числовой прямой между $-4$ и $4$.
Неравенство с модулем $|a| < 4$ по определению является равносильным (эквивалентным) двойному неравенству $-4 < a < 4$.
Это можно показать, раскрыв модуль:
- Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и неравенство принимает вид $a < 4$. С учетом условия $a \ge 0$, получаем $0 \le a < 4$.
- Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и неравенство принимает вид $-a < 4$. Умножив на $-1$, получим $a > -4$. С учетом условия $a < 0$, получаем $-4 < a < 0$.
Объединяя оба случая ($0 \le a < 4$ и $-4 < a < 0$), получаем, что неравенство $|a| < 4$ выполняется для всех $a$, таких что $-4 < a < 4$.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.