Номер 8.10, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.10, страница 63.

Условие.

8.10. Известно, что $a > 4$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $(a - 3)(a - 2)$;

2) $(a - 4)(a - 2)(3 - a)$;

3) $(1 - a^2)(4 - a)$.

Решение.

1) $(a - 3)(a - 2)$

По условию дано, что $a > 4$. Для того чтобы сравнить значение выражения с нулём, определим знаки каждого из множителей.

Первый множитель: $(a - 3)$. Так как $a > 4$, то очевидно, что $a > 3$. Следовательно, разность $a - 3$ будет положительной: $a - 3 > 0$.

Второй множитель: $(a - 2)$. Так как $a > 4$, то $a > 2$. Следовательно, разность $a - 2$ также будет положительной: $a - 2 > 0$.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Таким образом, $(a - 3)(a - 2) > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.

2) $(a - 4)(a - 2)(3 - a)$

Определим знаки каждого из трёх множителей, используя условие $a > 4$.

Первый множитель: $(a - 4)$. Из условия $a > 4$ следует, что $a - 4 > 0$ (положительный).

Второй множитель: $(a - 2)$. Так как $a > 4$, то $a > 2$, следовательно, $a - 2 > 0$ (положительный).

Третий множитель: $(3 - a)$. Так как $a > 4$, то $a > 3$. Если из меньшего числа вычесть большее, результат будет отрицательным, следовательно, $3 - a < 0$ (отрицательный).

Теперь определим знак всего выражения. Произведение двух положительных чисел и одного отрицательного числа будет отрицательным: $(+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.

Таким образом, $(a - 4)(a - 2)(3 - a) < 0$.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

3) $(1 - a^2)(4 - a)$

Определим знаки каждого множителя при условии $a > 4$.

Первый множитель: $(1 - a^2)$. Поскольку $a > 4$, то обе части неравенства положительны. Возведём их в квадрат: $a^2 > 4^2$, то есть $a^2 > 16$. Так как $16 > 1$, то и $a^2 > 1$. Отсюда следует, что $1 - a^2 < 0$ (отрицательный).

Второй множитель: $(4 - a)$. Из условия $a > 4$ следует, что разность $4 - a$ отрицательна: $4 - a < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-) \cdot (-) = (+)$.

Таким образом, $(1 - a^2)(4 - a) > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.