Номер 8.11, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.11, страница 64.

Условие.

8.11. Известно, что $b > -2$ и $b < 1$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $(b-1)(b-3)$;

2) $(b+2)(b-4)^2$;

3) $(b-3)(b+3)(b-2)^2$.

Решение.

По условию задачи дано неравенство: $-2 < b < 1$.

1) $(b - 1)(b - 3)$
Для того чтобы сравнить значение выражения с нулём, определим знак каждого множителя в заданном интервале.
Первый множитель: $(b - 1)$. Так как по условию $b < 1$, то, вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем $b - 1 < 1 - 1$, что означает $b - 1 < 0$. Множитель отрицательный.
Второй множитель: $(b - 3)$. Так как $b < 1$, то тем более $b < 3$. Вычитая 3 из обеих частей неравенства $b < 1$, получаем $b - 3 < 1 - 3$, что означает $b - 3 < -2$. Множитель также отрицательный.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
Следовательно, $(b - 1)(b - 3) > 0$.
Ответ: значение выражения больше нуля.

2) $(b + 2)(b - 4)^2$
Определим знак каждого множителя.
Первый множитель: $(b + 2)$. Так как по условию $b > -2$, то, прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем $b + 2 > -2 + 2$, что означает $b + 2 > 0$. Множитель положительный.
Второй множитель: $(b - 4)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(b - 4)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается только при $b = 4$. Однако, по условию $b$ находится в интервале $(-2; 1)$, поэтому $b \neq 4$. Следовательно, множитель $(b - 4)^2$ строго больше нуля.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом.
Следовательно, $(b + 2)(b - 4)^2 > 0$.
Ответ: значение выражения больше нуля.

3) $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2$
Определим знак каждого множителя.
Первый множитель: $(b - 3)$. Так как $b < 1$, то $b < 3$, и $b - 3 < 0$. Множитель отрицательный.
Второй множитель: $(b + 3)$. Так как $b > -2$, то $b + 3 > -2 + 3$, что означает $b + 3 > 1$. Множитель положительный.
Третий множитель: $(b - 2)^2$. Аналогично предыдущему пункту, квадрат числа всегда неотрицателен, а равенство нулю достигается при $b=2$. Поскольку $b < 1$, то $b \neq 2$, и значит $(b - 2)^2 > 0$. Множитель положительный.
Произведение одного отрицательного и двух положительных множителей является отрицательным числом.
Следовательно, $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2 < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.