Номер 8.17, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.17, страница 64.

Условие.

8.17. Дано: $a > -2$. Докажите, что:

1) $7a + 10 > -4$;

2) $-6a - 3 < 10$.

Решение.

1)

Нам дано неравенство $a > -2$. Чтобы доказать, что $7a + 10 > -4$, мы будем преобразовывать исходное неравенство, используя его свойства.

1. Умножим обе части неравенства $a > -2$ на положительное число 7. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется:

$7 \cdot a > 7 \cdot (-2)$

$7a > -14$

2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства $7a > -14$ число 10. При прибавлении одного и того же числа к обеим частям неравенства знак неравенства не меняется:

$7a + 10 > -14 + 10$

$7a + 10 > -4$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $7a + 10 > -4$ доказано.

2)

Снова используем данное неравенство $a > -2$. Чтобы доказать, что $-6a - 3 < 10$, выполним следующие преобразования.

1. Умножим обе части неравенства $a > -2$ на отрицательное число -6. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «>» на «<»):

$(-6) \cdot a < (-6) \cdot (-2)$

$-6a < 12$

2. Вычтем из обеих частей полученного неравенства $-6a < 12$ число 3. При вычитании одного и того же числа из обеих частей неравенства знак неравенства не меняется:

$-6a - 3 < 12 - 3$

$-6a - 3 < 9$

3. Мы доказали, что выражение $-6a - 3$ меньше 9. Поскольку $9 < 10$, то по свойству транзитивности неравенств, если значение выражения меньше 9, то оно тем более меньше 10.

Следовательно, $-6a - 3 < 10$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $-6a - 3 < 10$ доказано.