Номер 8.20, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.20, страница 64.

Условие.

8.20. Верно ли утверждение:

1) если $2 \le a < 3$, то $\frac{1}{3} < \frac{1}{a} \le \frac{1}{2}$;

2) если $-2 < a < -1$, то $-1 < \frac{1}{a} < -\frac{1}{2}$;

3) если $-3 < a < 3$, то $-\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$?

Решение.

1) Рассмотрим двойное неравенство $2 \le a < 3$. Все его части являются положительными числами. Функция $y = \frac{1}{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, при переходе к обратным величинам в неравенстве, знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{2} \ge \frac{1}{a} > \frac{1}{3}$.
Если записать это неравенство в порядке возрастания, получим:
$\frac{1}{3} < \frac{1}{a} \le \frac{1}{2}$.
Это полностью совпадает с данным в условии утверждением.
Ответ: верно.

2) Рассмотрим двойное неравенство $-2 < a < -1$. Все его части являются отрицательными числами. Функция $y = \frac{1}{x}$ на промежутке $(-\infty, 0)$ также является убывающей. Поэтому, как и в предыдущем пункте, при переходе к обратным величинам знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{1}{-2} > \frac{1}{a} > \frac{1}{-1}$.
Упростив, получаем:
$-\frac{1}{2} > \frac{1}{a} > -1$.
Запишем это неравенство в порядке возрастания:
$-1 < \frac{1}{a} < -\frac{1}{2}$.
Это полностью совпадает с данным в условии утверждением.
Ответ: верно.

3) Рассмотрим неравенство $-3 < a < 3$. Это неравенство определяет интервал, который содержит как отрицательные, так и положительные числа (значение $a=0$ не рассматривается, так как на ноль делить нельзя). Разобьем этот интервал на два: $(-3, 0)$ и $(0, 3)$.
а) Если $0 < a < 3$, то, как мы выяснили в пункте 1, $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$.
б) Если $-3 < a < 0$, то, аналогично пункту 2, $\frac{1}{-3} > \frac{1}{a}$, то есть $\frac{1}{a} < -\frac{1}{3}$.
Таким образом, для всех $a$ из интервала $(-3, 3)$, за исключением $a=0$, выполняется совокупность неравенств $\frac{1}{a} < -\frac{1}{3}$ или $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$.
Утверждение же в задаче гласит, что $-\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$, что противоречит нашему выводу.
Для опровержения можно привести контрпример. Пусть $a = 1$. Это значение удовлетворяет условию $-3 < 1 < 3$. Тогда $\frac{1}{a} = 1$. Неравенство $-\frac{1}{3} < 1 < \frac{1}{3}$ является ложным, так как $1 > \frac{1}{3}$.
Ответ: неверно.