Номер 8.24, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 8. Числовые неравенства и их свойства - номер 8.24, страница 65.

Условие.

8.24. Запишите верное неравенство, которое получим, если:

1) обе части неравенства $a < -a^2$ разделим на $a$;

2) обе части неравенства $a > a^2$ разделим на $a$;

3) обе части неравенства $a^3 > a^2$ разделим на $-a$.

Решение.

1) Чтобы разделить обе части неравенства $a < -a^2$ на $a$, необходимо определить знак переменной $a$. Из исходного неравенства следует, что $a + a^2 < 0$. Вынесем $a$ за скобки: $a(1+a) < 0$. Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Это условие выполняется для интервала $-1 < a < 0$. Следовательно, переменная $a$ является отрицательным числом. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, получаем: $\frac{a}{a} > \frac{-a^2}{a}$, что равносильно $1 > -a$.
Ответ: $1 > -a$

2) Чтобы разделить обе части неравенства $a > a^2$ на $a$, определим знак $a$. Из неравенства следует, что $a - a^2 > 0$. Вынесем $a$ за скобки: $a(1-a) > 0$. Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Это условие выполняется для интервала $0 < a < 1$. Следовательно, переменная $a$ является положительным числом. При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Таким образом, получаем: $\frac{a}{a} > \frac{a^2}{a}$, что равносильно $1 > a$.
Ответ: $1 > a$

3) Чтобы разделить обе части неравенства $a^3 > a^2$ на $-a$, необходимо определить знак выражения $-a$. Сначала найдем, какие значения может принимать $a$ из исходного неравенства $a^3 > a^2$. Перенесем $a^2$ в левую часть: $a^3 - a^2 > 0$. Вынесем $a^2$ за скобки: $a^2(a-1) > 0$. Так как по условию мы делим на $-a$, то $a \ne 0$, а значит $a^2$ всегда положительно ($a^2 > 0$). Для того чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положительным: $a-1 > 0$, откуда следует, что $a > 1$.
Поскольку $a > 1$, то $a$ — положительное число, а выражение $-a$ — отрицательное. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, получаем: $\frac{a^3}{-a} < \frac{a^2}{-a}$, что равносильно $-a^2 < -a$.
Ответ: $-a^2 < -a$